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Erzeugendensystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 Di 21.12.2010
Autor: Igor1

Hallo,

wenn man über ein Erzeugendensystem spricht, meint man , dass das aus endlich oder unendlich vielen Vektoren bestehen kann? Kann die Menge der Skalaren (bezüglich einer Linearkombination) auch endlich oder unendlich sein?

Gruß
Igor

        
Bezug
Erzeugendensystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Di 21.12.2010
Autor: Gonozal_IX

Hallo Igor,

> wenn man über ein Erzeugendensystem spricht, meint man ,
> dass das aus endlich oder unendlich vielen Vektoren
> bestehen kann?

Sowohl als auch

> Kann die Menge der Skalaren (bezüglich
> einer Linearkombination) auch endlich oder unendlich sein?

Auch hier sowohl als auch.

Aber beachte: Eine Linearkombination selbst besteht immer nur aus endlich vielen Summanden! Auch wenn das Erzeugendensystem und die Menge der Skalare unendlich ist.

MFG,
Gono.

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Erzeugendensystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 Di 21.12.2010
Autor: Igor1

Hallo Gono,

wenn man als Vektorraum V den Raum aller reellen Folgen , mit der Eigenschaft
höchstens endlich viele der Folgenglieder ungleich Null, hat. Was ist die Basis B
von V?
Man braucht eine Teilmenge B von V so, dass V=span(B) und B linear unabhängig ist. Falls B unendlich gross ist ( B:= [mm] {v_{1} , v_{2}...} [/mm] ), muss dann jedes [mm] v\in [/mm] V als  Linearkombination von einer endlichen Teilmenge T von B dargestellt werden können?


EDIT: Oder kann man hier nicht mehr über Linearkombination sprechen, falls
B unendlich ist?


Gruss
Igor

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Erzeugendensystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Di 21.12.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

> wenn man als Vektorraum V den Raum aller reellen Folgen ,
> mit der Eigenschaft
>  höchstens endlich viele der Folgenglieder ungleich Null,
> hat. Was ist die Basis B von V?

Ich würde behaupten, die gleiche wie vom Raum aller reellen Folgen.

> Man braucht eine Teilmenge B von V so, dass V=span(B) und B
> linear unabhängig ist. Falls B unendlich gross ist ( B:=
> [mm]{v_{1} , v_{2}...}[/mm] ), muss dann jedes [mm]v\in[/mm] V als  
> Linearkombination von einer endlichen Teilmenge T von B
> dargestellt werden können?

Genau.

> EDIT: Oder kann man hier nicht mehr über Linearkombination
> sprechen, falls B unendlich ist?

Doch, aber jede Linearkombination für sich ist endlich.
Also überleg dir schonmal, warum eine endliche Menge B als Erzeugendensystem nicht in Frage kommt.

MFG,
Gono.

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Erzeugendensystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Di 21.12.2010
Autor: Igor1

Hallo Gono,

es gibt zumindest zwei Definitionen von span :
1. Als Schnitt über Untervektorräume...
2. Als Menge aller Linearkombinationen von [mm] v_{1}...v_{m} [/mm]

Im zweiten Fall werden in der Definition endlich viele Vektoren betrachtet.
Ich meine , wenn man span(B) schreibt, dann meint man im zweiten Fall, dass B endlich ist.
Wir haben jedoch  B erstmal als unendlich betrachtet.
Wenn ich dann span(B) schreibe, kann ich damit nur die erste Definition meinen?

Wenn ja , wie kann man dann über Linearkombination sprechen, denn
span(B) (B unendlich )bezügl. der zweiten Definition in  unserem Skript nicht definiert ist.

Gruss
Igor



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Erzeugendensystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Di 21.12.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

> es gibt zumindest zwei Definitionen von span :
>  1. Als Schnitt über Untervektorräume...
>  2. Als Menge aller Linearkombinationen von [mm]v_{1}...v_{m}[/mm]

da hast du Voraussetzungen ignoriert.
"von [mm]v_{1}...v_{m}[/mm]$" gilt nur, wenn [mm] $B=\{v_{1}...v_{m}\}$. [/mm]
Ansonsten steht da nur

"2. Als Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus B"
  

> Im zweiten Fall werden in der Definition endlich viele
> Vektoren betrachtet.
>  Ich meine , wenn man span(B) schreibt, dann meint man im
> zweiten Fall, dass B endlich ist.
>  Wir haben jedoch  B erstmal als unendlich betrachtet.
> Wenn ich dann span(B) schreibe, kann ich damit nur die
> erste Definition meinen?

Nein, hab ich ja oben erklärt :-)

MFG,
Gono.

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Erzeugendensystem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Di 21.12.2010
Autor: Igor1

Hallo Gono,

das Problem ist, dass in unserem Skript [mm] span(v_{1},...,v_{m}) [/mm] :={...}
steht. Die Definition bezieht sich auf endliches B.
Aus Deiner Antwort verstehe ich , dass diese Definition nur ein spezial Fall ist.
Über unendliche/allgemeine Menge B bezüglich span(B) (als die Menge aller Linearkombinationen...)  habe ich im Skript  nichts gefunden.

Gruss
Igor



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Erzeugendensystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Di 21.12.2010
Autor: fred97

Allgemein:

Ist V ein Vektorraun über K und M eine nichtleere Teilmenge von V, so ist

  $span(M):= [mm] \{\summe_{i=1}^{n} \alpha_i*x_i: n \in \IN, \alpha_1, ..., \alpha_n \in K, x_1, ...,x_n \in V\}$ [/mm]

FRED

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