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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Do 09.01.2014 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Sei [mm] $\Omega:=\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{A}:=\{A\subset\mathbb{N}|\;A\mbox{ endlich oder }A^C\mbox{ endlich}\}$.
[/mm]
Beweisen Sie:
[mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist eine Algebra über [mm] $\Omega$, [/mm] welche von [mm] $\mathcal{E}:=\{\{n\}|n\in\mathbb{N}\}$ [/mm] erzeugt wird. |
Hi,
ich habe leider etwas Probleme bei dieser Aufgabe.
Der Beweis, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] Algebra ist, stellt kein Problem dar.
Jedoch macht mir der Beweis, dass [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] das Erzeugendensystem ist Probleme.
An sich ist es ja logisch, wenn man sich überlegt, dass alle endlichen Vereinigungen von Elementen aus [mm] $\mathcal{E}$, [/mm] ja endliche Mengen sind.
Aber ich weiß nicht wirklich, wie ich diesen Beweis korrekt aufs Blatt bringe.
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
Vielen Dank schonmal!
Liebe Grüße
Baum :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Omega:=\mathbb{N}[/mm] und
> [mm]\mathcal{A}:=\{A\subset\mathbb{N}|\;A\mbox{ endlich oder }A^C\mbox{ endlich}\}[/mm].
>
> Beweisen Sie:
> [mm]\mathcal{A}[/mm] ist eine Algebra über [mm]\Omega[/mm], welche von
> [mm]\mathcal{E}:=\{\{n\}|n\in\mathbb{N}\}[/mm] erzeugt wird.
> Hi,
>
> ich habe leider etwas Probleme bei dieser Aufgabe.
> Der Beweis, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] Algebra ist, stellt kein
> Problem dar.
> Jedoch macht mir der Beweis, dass [mm]\mathcal{E}[/mm] das
> Erzeugendensystem ist Probleme.
> An sich ist es ja logisch, wenn man sich überlegt, dass
> alle endlichen Vereinigungen von Elementen aus [mm]\mathcal{E}[/mm],
> ja endliche Mengen sind.
>
> Aber ich weiß nicht wirklich, wie ich diesen Beweis
> korrekt aufs Blatt bringe.
>
> Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
Klar ist
[mm] \sigma(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{A}
[/mm]
Zeige nun noch:
[mm] \sigma(\mathcal{E}) \supseteq \mathcal{A}
[/mm]
Ist also A [mm] \in \mathcal{A}, [/mm] so gibt es 2 Fälle:
A endlich, warum gilt dann A [mm] \in \sigma(\mathcal{E}) [/mm] ?
Oder
[mm] A^C [/mm] endlich, warum gilt dann A [mm] \in \sigma(\mathcal{E}) [/mm] ?
FRED
> Vielen Dank schonmal!
>
> Liebe Grüße
> Baum :)
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