Erweiterungsgrad Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei f [mm] \in [/mm] K[X] ein irreduzibles Polynom vom Grad 5 und L der Zerfällungskörper von f über K.
Zeige: [L : K] [mm] \not= [/mm] 15:
Finde ein Beispiel mit [L : K] = 10: |
Hallo,
hat jemand einen passenden Ansatz zu dieser Aufgabe?
Mir fehlt die zündende Idee.
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:01 Mo 09.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es sei f [mm]\in[/mm] K[X] ein irreduzibles Polynom vom Grad 5 und L
> der Zerfällungskörper von f über K.
> Zeige: [L : K] [mm]\not=[/mm] 15:
Mach erstmal eine Fallunterscheidung
a) $f$ ist nicht separabel: dann ist $[L : K] = 5$ (warum?), also interessiert uns dieser Fall nicht.
b) $f$ ist separabel: dann ist $L/K$ Galoissch.
In diesem Fall gibt es zwei Nullstellen [mm] $\alpha, \alpha' \in [/mm] L$, so dass $K' = [mm] K(\alpha, \alpha')$ [/mm] gerade $[K' : K] = 5$ erfuellt und alle anderen Nullstellen von $f$ nicht in $K'$ liegen (warum?).
Jetzt hat man durch [mm] $\alpha \to \alpha'$ [/mm] einen Automorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] von $K'$ ueber $K$; dieser hat Ordnung 2 (warum?).
Dieser Automorphismus muss sich zu einem Automorphismus von $L$ fortsetzen lassen. Welche Ordnungen kommen fuer diesen in Frage? Was sagt dies ueber die Galoisgruppe von $L / K$ aus?
> Finde ein Beispiel mit [L : K] = 10:
Sei [mm] $\alpha$ [/mm] eine Nullstelle von $f$ und $K' = [mm] K(\alpha)$. [/mm] In diesem Fall muss $f$ ueber $K'$ einen irreduziblen Faktor von Grad 2 und drei Nullstellen in $K'$, oder $f$ hat zwei (verschiedene!) irreduzible Faktoren von Grad 2 und eine Nullstelle in $K'$, naemlich [mm] $\alpha$ [/mm] (warum?).
Im ersten Fall bekommt man wie oben heraus, dass $[L : K]$ nicht 10 sein kann. Damit muss also der zweite Fall eintreten.
Du musst also $f$ so finden, dass $f$ ueber $K'$ zwei verschiedene irreduzible Faktoren hat. Weiterhin ist $L / K'$ Galoissch von Grad 2, hat also einen Automorphismus von Grad 2.
Eventuell kann dieser Automorphismus ja die komplexe Konjugation sein, und $K = [mm] \IQ$?
[/mm]
Ein Versuch waere also, nach einem irreduziblen Polynom $f [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] von Grad 5 zu suchen, welches nur eine reelle Nullstelle hat: ist [mm] $\alpha$ [/mm] diese (reelle) Nullstelle, so liegen die weiteren 4 Nullstellen von $f$ nicht in [mm] $\IQ(\alpha)$.
[/mm]
Hmm, ob das wirklich weiterhilft weiss ich nicht... Ich hab auf die schnelle nichts gefunden...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 10.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
