Erwartungswerte < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Bei einer Partyagentur wurden von n Familien Clowns für Geburtstagsfeiern gebucht. Durch einen Fehler hat jeder der n Clowns nur die Liste mit den n Adressen der Familien bekommen, jedoch nicht die genaue Zuordnung. Deshalb
entschließen sich alle, einen zufalligen Kunden zu besuchen (unabhangig und gleichverteilt).
Wie ist der Erwartungswert für die Familien, bei denen kein Clown erscheint?
Geben Sie eine Formel fur den Erwartungswert an
und berechnen Sie diesen Wert mit dem Taschenrechener fur n = 5, n = 10 und n = 20.
Was fallt Ihnen dabei auf?
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Guten Abend!
Ich hänge gerade an dieser Aufgabe fest, da ich nicht darauf komme, wie die genaue Zufallsvariable ist, um den Erwartungswert zu berechnen.
Oder ist es der falsche Weg, wenn ich es über die Zufallsvariable versuche?
Ich wär über einen Tip sehr dankbar, damit ich die Aufgabe lösen kann.
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Fr 09.01.2009 | | Autor: | zetamy |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
die Frage ist zwar als überfällig gekennzeichnet, aber vielleicht hilft dir das noch.
Definiere eine Zufallsvariable $X_i :=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{falls mindestens ein Clown zu Familie i geht} \\ 0, & \mbox{falls kein Clown zu Familie i geht} \end{matrix}\right$
$X_i$ ist also eine Indikatorvariable. Weiter sei $Z:= \sum_{i=1}^n X_i$.
Dann ist die erwartete Anzahl der Familien ohne Clown: $E[Z] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n P[X_i=1] = n\cdot P[X_i=1]$, wobei die vorletzte Gleichheit wegen $X_i=$Indikator und die letzte Gleichheit wegen $X_i$ unabhängig, identisch verteilt.
Zudem ist $P[X_i=1] = 1 - P[X_i=0]$ und $P[X_i=0] = P[ (\mbox{Anzahl der Clowns bei Familie i})\geq 1] = \sum_{j=1}^n P[ (\mbox{Anzahl der Clowns bei Familie i})=j] $.
Soweit der "Ansatz". Um die letzte Wahrscheinlichkeit auszurechnen, denke an die Binomialverteilung!
Gruß, zetamy
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