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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Flock |
Hallo, Forum!
Nach längerem Grübeln konnte ich leider diese zwei Umformungen nicht nachvollziehen:
Seien [mm] e_{t} [/mm] i.id Zufallsvariablen.
1) Umformung:
Es wird in einem Beweis folgendes behauptet:
[mm] E(|\summe_{t=1}^{n} e_{t} exp(-i*t*w)|^{2}) [/mm] = ??? = [mm] E\summe_{t=1}^{n} e_{t}^{2}
[/mm]
So direkt sehe ich es nicht ein, wieso jetzt plötzlich Betragsstriche wegfallen, ich würde so vorgehen, wenn ich die Antwort nicht kennen würde:
[mm] E(|\summe_{t=1}^{n} e_{t} exp(-i*t*w)|^{2})=
[/mm]
[mm] E(|\summe_{t=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} e_{t} e_{k}exp(-i*t*w)exp(-ikw)|) [/mm]
Ab hier wüsste ich es nicht weiter...
ich weiß nur, dass |exp(-ikw)| = 1, das darf ich aber nur anwenden, wenn ich die Beträge in die Summe hereingezogen habe...
2) Umformung:
[mm] E(|\summe_{t=1}^{n} e_{t} exp(-i*t*w_{1})|^{2} |\summe_{s=1}^{n} e_{s} exp(-i*s*w_{2})|^{2}) [/mm] =
[mm] E\summe_{s,t=1}^{n} \summe_{s,t=1}^{n} e_{t} e_{s} e_{u} e_{v} exp(-i*(t-s)*w_{1}) exp(-i*(u-v)*w_{2})
[/mm]
hier verstehe ich wieder nicht, warum die Betragsstriche einfach so verschwinden.
Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand mir dieses Betragsstrichgeheimnis lüften würde und die Zwischenschritte bei diesen Umformungen ergänzen würde
Gruss
Flock
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Hi,
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> Seien [mm]e_{t}[/mm] i.id Zufallsvariablen.
>
> 1) Umformung:
>
> Es wird in einem Beweis folgendes behauptet:
>
> [mm]E(|\summe_{t=1}^{n} e_{t} exp(-i*t*w)|^{2})[/mm] = ??? =
> [mm]E\summe_{t=1}^{n} e_{t}^{2}[/mm]
>
> So direkt sehe ich es nicht ein, wieso jetzt plötzlich
> Betragsstriche wegfallen, ich würde so vorgehen, wenn ich
> die Antwort nicht kennen würde:
>
> [mm]E(|\summe_{t=1}^{n} e_{t} exp(-i*t*w)|^{2})=[/mm]
>
> [mm]E(|\summe_{t=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} e_{t} e_{k}exp(-i*t*w)exp(-ikw)|)[/mm]
Benutze die Formel [mm] |z|^2=z\overline{z}:
[/mm]
[mm] $E(|\summe_{t=1}^{n} e_{t} exp(-i*t*w)|^{2})=E(\sum_t\sum_s e_t e_s \exp(-i* [/mm] t [mm] *w)\exp [/mm] (i* s *w))$
[mm] $=E(\sum_te_t^2)+\sum_{s\neq t}E(e_t e_s \exp(-i* [/mm] (s-t) [mm] *w))=E(\sum_t e_t^2)$
[/mm]
Die letzte Summe entfällt, da [mm] e_s [/mm] und [mm] e_t [/mm] unabhängig sind, das heißt Kovarianz Null haben.
> Ab hier wüsste ich es nicht weiter...
> ich weiß nur, dass |exp(-ikw)| = 1, das darf ich aber nur
> anwenden, wenn ich die Beträge in die Summe hereingezogen
> habe...
>
>
LG
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> 2) Umformung:
>
> [mm]E(|\summe_{t=1}^{n} e_{t} exp(-i*t*w_{1})|^{2} |\summe_{s=1}^{n} e_{s} exp(-i*s*w_{2})|^{2})[/mm]
> = [mm]E\summe_{s,t=1}^{n} \summe_{s,t=1}^{n} e_{t} e_{s} e_{u} e_{v} exp(-i*(t-s)*w_{1}) exp(-i*(u-v)*w_{2})[/mm]
Hier kommt ebenfalls die Identität [mm] |z|^2=z\overline{z} [/mm] zum Einsatz. Dann einfach ausmultipliziert.
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> hier verstehe ich wieder nicht, warum die Betragsstriche
> einfach so verschwinden.
>
LG
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