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Forum "Uni-Stochastik" - Erwartungswert und covarianz
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Erwartungswert und covarianz: idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Sa 31.01.2015
Autor: PeterPaul

Aufgabe
Ein fairer Würfel wird einmal gewürfelt. $X$ bezeichne die doppelte Augenzahl und  $ Y$ sei wie folgt definiert

[mm] $Y:=\begin{cases} 1 , & falls die Augenzahl gerade ist \\ 0, & sonst \end{cases}$ [/mm]

Bestimmen sie die Verteilung von $X,Y$ und$ E[X+Y],Cov(X,Y) $und $Var(X+Y)$.

Hallo erstmal

mein prof hat mir am freitag aufgaben zur Übung gegeben und die wollte ich mal durch ackern.

Also erst mal die Verteilung von$ Y [mm] \sim B(1,\frac{1}{6})$ [/mm]
weil der Ausgang kann ja nur $1$ oder $ 0 $ sein und die W'keit das ein zahl gerade ist liegt ja bei [mm] $\frac{1}{6}$. [/mm]


Nun ich habe jetzt ein Problem mir das vorzustellen. ich erkläre warum!

Wenn ich ,wie in der aufgaben gefordert, einen Würfel nun einmal werfe und $ X $ die doppelte Augenzahl ist, ist $X$ dann nicht immer gerade, weil es ist ja dann $2*k$ mit [mm] $k\in \{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] oder nicht? müsste $X$ dann nicht diskret gleichverteilt sein  von $2$ bis $12$ mit W'keit [mm] $\frac{1}{6}$ [/mm] für$ [mm] \{2,4,6,8,10,12\}?$ [/mm]


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Erwartungswert und covarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Sa 31.01.2015
Autor: luis52

Moin PeterPaul

[willkommenmr]
  

> Also erst mal die Verteilung von[mm] Y \sim B(1,\frac{1}{6})[/mm]
>  
> weil der Ausgang kann ja nur [mm]1[/mm] oder [mm]0[/mm] sein und die W'keit
> das ein zahl gerade ist liegt ja bei [mm]\frac{1}{6}[/mm].
>  

Hm, ist dein Wuerfel kaputt? ;-) Meiner hat 3 gerade Zahlen drauf: 2, 4, 6.

>
> Nun ich habe jetzt ein Problem mir das vorzustellen. ich
> erkläre warum!
>  
> Wenn ich ,wie in der aufgaben gefordert, einen Würfel nun
> einmal werfe und [mm]X[/mm] die doppelte Augenzahl ist, ist [mm]X[/mm] dann
> nicht immer gerade, weil es ist ja dann [mm]2*k[/mm] mit [mm]k\in \{1,2,3,4,5,6\}[/mm]
> oder nicht? müsste [mm]X[/mm] dann nicht diskret gleichverteilt
> sein  von [mm]2[/mm] bis [mm]12[/mm] mit W'keit [mm]\frac{1}{6}[/mm] für[mm] \{2,4,6,8,10,12\}?[/mm]
>  


Alles korrekt. Wo ist das Problem?

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert und covarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Sa 31.01.2015
Autor: PeterPaul

ja was mache ich jetzt um den Erwartungswert zu bestimmen. Faltung oder erzeugenden funktion?

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert und covarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Sa 31.01.2015
Autor: luis52

$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ und $ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$ ...

Bezug
                                
Bezug
Erwartungswert und covarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Sa 31.01.2015
Autor: PeterPaul

$ Y [mm] \sim B(1,\frac{1}{2}) [/mm]  , E[Y]= [mm] \frac{1}{2} [/mm] , Var(Y)= [mm] \frac{1}{4}$ [/mm]

$ X [mm] \sim \mu_{[2,12]}$ [/mm] , ich hab jetzt als $ E[X] = [mm] \frac{13}{3}$ [/mm]  , ist der EW. richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Erwartungswert und covarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Sa 31.01.2015
Autor: luis52


> [mm]X \sim \mu_{[2,12]}[/mm] , ich hab jetzt als [mm]E[X] = \frac{13}{3}[/mm]
>  , ist der EW. richtig?

[notok]

$E[X]=7$


Bezug
                                                
Bezug
Erwartungswert und covarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 So 01.02.2015
Autor: PeterPaul

$E[X] = [mm] \frac{1}{6}*2+\frac{1}{6}*4+\frac{1}{6}*6+\frac{1}{6}*8+\frac{1}{6}*10+\frac{1}{6}*12 [/mm] = [mm] \frac{42}{6}= [/mm] 7$

[mm] $E[X^2]= \frac{1}{6}*2^2+\frac{1}{6}*4^2+\frac{1}{6}*6^2+\frac{1}{6}*8^2+\frac{1}{6}*10^2+\frac{1}{6}*12^2 [/mm] = [mm] \frac{364}{6}= [/mm] 60,666$


$Var(X)= [mm] E[X^2]-(E[X])^2 [/mm] = [mm] 60,66-7^2= [/mm] 60,66-49= 11,66$

jetzt$ Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)$

was fehlt$ 2Cov(X,Y)$

nun $Cov(X,Y)= E[XY]-E[X]E[Y]$

$Cov(X,Y)= [mm] E[XY]-(7*\frac{1}{2}) [/mm] $

bei mir hakts an dem  $E[XY]$ das macht mich mad, weil ich weis nicht,ob die abhängig sind oder nicht

wenn die unabhängig sind [mm] $\Rightarrow [/mm]  Cov(X,Y)= 0 $ , aber mir fällt das prüfen auch mega schwer ,denn $P(X [mm] \cap [/mm] Y)= P(X)*P(Y) $

$P(X)*P(Y) = [mm] \frac{1}{6}*\frac{1}{2}= \frac{1}{12}$ [/mm]

aber $ P(X [mm] \cap [/mm] Y)$ fällt mir schwer... :( argghh..


Bezug
                                                        
Bezug
Erwartungswert und covarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 So 01.02.2015
Autor: luis52


> [mm]E[X] = \frac{1}{6}*2+\frac{1}{6}*4+\frac{1}{6}*6+\frac{1}{6}*8+\frac{1}{6}*10+\frac{1}{6}*12 = \frac{42}{6}= 7[/mm]
>  
> [mm]E[X^2]= \frac{1}{6}*2^2+\frac{1}{6}*4^2+\frac{1}{6}*6^2+\frac{1}{6}*8^2+\frac{1}{6}*10^2+\frac{1}{6}*12^2 = \frac{364}{6}= 60,666[/mm]
>  
>
> [mm]Var(X)= E[X^2]-(E[X])^2 = 60,66-7^2= 60,66-49= 11,66[/mm]

[ok]

>  
> jetzt[mm] Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)[/mm]
>  
> was fehlt[mm] 2Cov(X,Y)[/mm]
>  
> nun [mm]Cov(X,Y)= E[XY]-E[X]E[Y][/mm]
>  
> [mm]Cov(X,Y)= E[XY]-(7*\frac{1}{2})[/mm]
>  
> bei mir hakts an dem  [mm]E[XY][/mm] das macht mich mad, weil ich
> weis nicht,ob die abhängig sind oder nicht
>

Vermutlich nicht. Gehe vor wie in dem anderen Thread: Es koennen sich die Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 jeweils mit der Wsk 1/6 realisieren. Die zugehoerigen Werte von $X_$ bzw. $Y_$ sind 2,4,6,8,10,12 bzw. 0,1,0,1,0,1 ....

Bezug
                                                                
Bezug
Erwartungswert und covarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 So 01.02.2015
Autor: PeterPaul

1:      [,1]   X  Y
2: [1,]   1   2   1
3: [2,]   2   4   1
4: [3,]   3   6   1
5: [4,]   4   8   1
6: [5,]   5  10  1
7: [6,]   6  12  1

$P(X=2,Y=1)=P(X=4,Y=1) =P(X=6,Y=1) =P(X=8,Y=1) =P(X=10,Y=1) =P(X=12,Y=1) [mm] =\frac{1}{6}*\frac{1}{2}= \frac{1}{12}$ [/mm]

$E[X*Y]= [mm] \frac{1}{12}$ [/mm]

$Cov(X,Y)= [mm] \frac{1}{12}-\frac{7}{2}= \frac{1}{12}-\frac{42}{12} [/mm] = [mm] -\frac{41}{12}$ [/mm]


mhh bin mir aber total unsicher


Bezug
                                                                        
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Erwartungswert und covarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 So 01.02.2015
Autor: luis52


> 1:      [,1]   X  Y
>  2: [1,]   1   2   1
>  3: [2,]   2   4   1
>  4: [3,]   3   6   1
>  5: [4,]   4   8   1
>  6: [5,]   5  10  1
>  7: [6,]   6  12  1


[notok]

\
1:  1:      [,1]   X  Y
2: 2: [1,]   1   2   0
3: 3: [2,]   2   4   1
4: 4: [3,]   3   6   0
5: 5: [4,]   4   8   1
6: 6: [5,]   5  10  0
7: 7: [6,]   6  12  1






Bezug
        
Bezug
Erwartungswert und covarianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 So 01.02.2015
Autor: DieAcht

Hallo PeterPaul und [willkommenmr]!


> Wenn ich ,wie in der aufgaben gefordert, einen Würfel nun
> einmal werfe und [mm]X[/mm] die doppelte Augenzahl ist, ist [mm]X[/mm] dann
> nicht immer gerade, weil es ist ja dann [mm]2*k[/mm] mit [mm]k\in \{1,2,3,4,5,6\}[/mm]
> oder nicht?

Nein, das stimmt nicht. Wir setzen

      [mm] \Omega:=\{1,\ldots,6\}. [/mm]

Dann gilt:

      [mm] \{2*k\mid k\in\Omega\}=\{2,4,8,10,12\}. [/mm]

[mm] $X\$ [/mm] ist eine Zufallsvariable, also eine Abbildung! Hier ist

      [mm] X\colon\Omega\to\{2,4,8,10,12\}. [/mm]


Gruß
DieAcht

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