Erwartungswert und Varianz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Immer wenn Dozent K. mit dem Auto zur Uni faehrt, kommt zur Mindestfahrzeit noch eine (zufaellige) Verzögerung wegen eventuell hohem Verkehrsaufkommen und eine (zufaellige) Wartezeit ist daher gegeben durch W=20+V+U
wobei U,V unabhaengige Zufallsvariablen sind, mit U gleichverteilt auf [0,10] und V exp. [mm] (\bruch{1}{5})- [/mm] verteilt. Dabei hat eine exp. [mm] (\lambda) [/mm] verteilte Zufallsvariable X die Dichte
[mm] f(x)=\begin{cases} \lambda*e^{-\lambda*x}, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } sonst \mbox{} \end{cases}
[/mm]
a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz für U
b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz für V
c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz für W. An welchen Stellen benötigt man die unabhaengigkeit von U und V |
Hallo,
bin gerade etwas verwirrt
was ich mir überlegt habe
a) Eine auf [0,10]gleichverteilte ZV hat die Dichte
[mm] g(x)=(n)=\begin{cases} \bruch{1}{10}, & \mbox{für } 0\le x\le 10 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } sonst \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Damit folgt
EX= [mm] \integral_{\IR} [/mm] x*g(x) dx [mm] =\integral_{0}^{10} [/mm] x* [mm] \bruch{1}{10} [/mm] dx=5
für die Varianz benötige ich noch [mm] E(X^2)
[/mm]
[mm] E(X^2)= \integral_{\IR} x^2*g(x) [/mm] dx [mm] =\integral_{0}^{10} x^2* \bruch{1}{10}dx= \bruch{1000}{30}
[/mm]
Hieraus folgt:
[mm] V(X)=\bruch{1000}{30}-25=\bruch{25}{3}
[/mm]
İst das richtig?
Was mich irritiert ist folgendes:
Wir hatten in der Vorlesung eine Tabelle für die Verteilung von Erwartungswert und Varianz aufgeschrieben.
Bei U[a,b] steht beim Erwartungswert [mm] \bruch{a+b}{2}
[/mm]
ok dies würde mit meiner obigen Rechnung übereinstimmen. Bei der Varianz steht [mm] \bruch{(b-a)^2}{2}. [/mm] Hier kommt jetzt 50 raus und dies stimmt mit meiner Rechnung nicht überein. Wo ist den mein Fehler :-S
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Hallo Laura87,
> Immer wenn Dozent K. mit dem Auto zur Uni faehrt, kommt zur
> Mindestfahrzeit noch eine (zufaellige) Verzögerung wegen
> eventuell hohem Verkehrsaufkommen und eine (zufaellige)
> Wartezeit ist daher gegeben durch W=20+V+U
> wobei U,V unabhaengige Zufallsvariablen sind, mit U
> gleichverteilt auf [0,10] und V exp. [mm](\bruch{1}{5})-[/mm]
> verteilt. Dabei hat eine exp. [mm](\lambda)[/mm] verteilte
> Zufallsvariable X die Dichte
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \lambda*e^{-\lambda*x}, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{} \\
0, & \mbox{für } sonst \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz für U
> b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz für V
> c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz für W
> Hallo,
>
> bin gerade etwas verwirrt
> was ich mir überlegt habe
>
> a) Eine auf [0,10]gleichverteilte ZV hat die Dichte
>
> [mm]g(x)=(n)=\begin{cases} \bruch{1}{10}, & \mbox{für } 0\le x\le 10 \mbox{} \\
0, & \mbox{für } sonst \mbox{} \end{cases}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Damit folgt
>
> EX= [mm]\integral_{\IR}[/mm] x*g(x) dx [mm]=\integral_{0}^{10}[/mm] x* [mm]\bruch{1}{10}[/mm] dx=5
Besser $E[U]=...$ ...
$X$ ist doch anderweitig vergeben ...
>
> für die Varianz benötige ich noch [mm]E(X^2)[/mm]
>
> [mm]E(X^2)= \integral_{\IR} x^2*g(x)[/mm] dx [mm]=\integral_{0}^{10} x^2* \bruch{1}{10}dx= \bruch{1000}{30}[/mm]
>
> Hieraus folgt:
>
> [mm]V(X)=\bruch{1000}{30}-25=\bruch{25}{3}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> İst das richtig?
Ja!
>
> Was mich irritiert ist folgendes:
>
> Wir hatten in der Vorlesung eine Tabelle für die
> Verteilung von Erwartungswert und Varianz aufgeschrieben.
>
> Bei U[a,b] steht beim Erwartungswert [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm]
>
> ok dies würde mit meiner obigen Rechnung übereinstimmen.
> Bei der Varianz steht [mm]\bruch{(b-a)^2}{2}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Schau' nochmal genau nach oder rechne es allg. für eine auf einem Intervall [mm][a,b][/mm] gleichvert- ZV [mm]Z[/mm] aus.
Es muss [mm]Var[Z]=\frac{(b-a)^2}{\red{12}}[/mm] heißen ...
> Hier kommt jetzt
> 50 raus und dies stimmt mit meiner Rechnung nicht überein.
> Wo ist den mein Fehler :-S
Du hast keinen bzw. das aus der VL falsch abgeschrieben 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo nochmal,
vielen dank für deine schnelle Korrektur. İst es egal, ob man das mit dem Integral ausrechnet oder so wie unten mit (a+b)/2 usw.? Oder kann man das letztere nur zur kontrolle nehmen? Es ginge ja viel schneller in einer Klausur.
dann noch eine Frage zu b)
muss ich hier
[mm] \integral_{0}^{\infty}x*\lambda*e^{-\lambda*x} [/mm] berechnen? also für den Erwartungswert. Aber dann haette ich ja gar nix mit 1/5 berechnet.
Oder einfach nur
Erwartungswert [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{5}}=5 [/mm] und Varianz [mm] \bruch{1}{(\bruch{1}{5})^2}=25?
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Hallo nochmal,
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> vielen dank für deine schnelle Korrektur. İst es egal, ob
> man das mit dem Integral ausrechnet oder so wie unten mit
> (a+b)/2 usw.? Oder kann man das letztere nur zur kontrolle
> nehmen? Es ginge ja viel schneller in einer Klausur.
Das kannst du halten wie ein Dachdecker.
Auf der sicheren Seite bist du, wenn du den Assi fragst, ob du das in einer Klausur so abkürzen darfst ...
>
> dann noch eine Frage zu b)
>
> muss ich hier
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}x*\lambda*e^{-\lambda*x}[/mm] berechnen?
> also für den Erwartungswert.
Mit [mm]\lambda=1/5[/mm]
> Aber dann haette ich ja gar
> nix mit 1/5 berechnet.
?? [mm]\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{1}{5}xe^{-\frac{1}{5}x} \ dx}[/mm] ist zu berechnen ...
>
> Oder einfach nur
>
> Erwartungswert [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{5}}=5[/mm] und Varianz
> [mm]\bruch{1}{(\bruch{1}{5})^2}=25?[/mm]
Wenn ihr bereits gezeigt habt, dass eine [mm]\operatorname{Exp}(\lambda)[/mm]-verteilte ZV den Erwartungswert [mm]1/\lambda[/mm] und Varianz [mm]1/\lambda^2[/mm] hat, ist das legitim.
Ansonsten kannst du das Integral mit partieller Integration erschlagen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
vielen dank für den Hinweis [mm] \lambda=1/5 [/mm] 
ich habe noch eine kurze frage zu c)
ich würde jz einfach
E[W]=20+E[V]+E[U]=20+5+5=30
[mm] V[W]=20+V[V]+V[U]=20+25+\bruch{25}{3}=\bruch{160}{3}
[/mm]
ist doch richtig oder?
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Hallo nochmal,
> vielen dank für den Hinweis [mm]\lambda=1/5[/mm]
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> ich habe noch eine kurze frage zu c)
>
> ich würde jz einfach
>
> E[W]=20+E[V]+E[U]=20+5+5=30
Jo, der Erwartungswert ist linear
>
> [mm]V[W]=20+V[V]+V[U]=20+25+\bruch{25}{3}=\bruch{160}{3}[/mm]
Das halte ich für ein Gerücht.
Wie lauten die Rechenregeln für die Varianz? Und sage dazu, wo du die Unabh. von $U$ und $V$ einbringst ...
>
> ist doch richtig oder?
Nicht ganz
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
hmm stimmt das war blöd von mir.
Für die Varianz gilt [mm] V[W]=E(W^2)-(EW)^2 [/mm] wobei [mm] (EW)^2=900 [/mm] ist. Aber wie bestimme ich [mm] E(W^2)? [/mm] Hierbei bringe ich wahrscheinlich auch die Unabhaengigkeit mit ein.
Lg Laura
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Hallo nochmal,
> hmm stimmt das war blöd von mir.
Nein, gar nicht!
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> Für die Varianz gilt [mm]V[W]=E(W^2)-(EW)^2[/mm] wobei [mm](EW)^2=900[/mm]
> ist. Aber wie bestimme ich [mm]E(W^2)?[/mm] Hierbei bringe ich
> wahrscheinlich auch die Unabhaengigkeit mit ein.
Es ist doch [mm]\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)[/mm] und für unabh. [mm]X,Y[/mm] [mm]\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)[/mm]
Also mit [mm]U,V[/mm] unabh. dann:
[mm]\operatorname{Var}(20+U+V)=\operatorname{Var}(U)+\operatorname{Var}(V)[/mm]
Du brauchst also nicht den Umweg über die Definition zu gehen, du hast ja alle Bestandteile schon ausgerechnet ...
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> Lg Laura
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
Vielen vielen dank! Bin durch deine Hilfe ein ganzes Stück schlauer geworden
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