Erwartungswert und Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega, \IP) [/mm] ein W-Raum.
1) Sei [mm] X:\Omega\to\IZ\backslash\{0\} [/mm] eine Zufallsgröße, deren Verteilung gegeben ist durch
[mm] \IP(X=k)=\IP(X=-k)=\bruch{1}{Z*k^{2}} [/mm]
wobei Z eine geeignete Normierungskonstante ist.
a) Bestimmen Sie Z.
b) Existiert der Erwartungswert von X? Berechnen Sie diesen im Falle seiner Existenz.
c) Was können sie über die Varianz von X aussagen?
2) Sei [mm] Y:\Omega\to\IN_{0} [/mm] eine Poisson-verteilte Zufallsgröße zu [mm] \lambda>0, [/mm] d. h.
[mm] \IP(Y=k)=exp(-\lambda)*\bruch{\lambda^{k}}{k!}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses [mm] \{Y\not=0\}
[/mm]
b) Berechnen Sie den Erwartungswert von Y
c) Berechnen Sie die Varianz von Y. |
Heyho!
Zu 1):
a) [mm] \sum_{k\in \IZ, k\not=0}\IP(X=k)=\bruch{1}{Z}\sum_{k\in\IZ, k\not=0}\bruch{1}{k^{2}}=\bruch{1}{Z}*2*\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{2}}=\bruch{4}{Z}=1 \Rightarrow [/mm] Z=4
b) Erwarungswert existiert nicht, denn
[mm] E(X)=\sum_{k\in\IZ, k\not=0}k*\IP(X=k)=\bruch{1}{4}\sum_{k\in\IZ, k\not=0}\bruch{1}{k} [/mm] konvergiert bekanntlich nicht absolut
c) Mmmh? Die Varianz existiert doch nur, wenn der Erwartungswert existiert...
Also existiert sie nicht???
Zu 2)
a) [mm] \IP(Y\not=0)=1-\IP(Y=0)=1-exp(-\lambda)
[/mm]
b) [mm] E(Y)=\sum_{k=0}^{\infty}k*\IP(Y=k)=exp(-\lambda)*\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{k}*k}{k!}=exp(-\lambda)*\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{k}*k}{k!}
[/mm]
[mm] =\lambda*exp(-\lambda)*\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda*exp(-\lambda)*\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{k}}{k!}=\lambda*exp(-\lambda)*exp(\lambda)=\lambda
[/mm]
c) Hierbei hab ich so ein paar Probleme...
[mm] Var(Y)=E((Y-E(Y))^{2})=E((Y-\lambda)^{2})=\sum_{k=0}^{\infty}(k-\lambda)^{2}\IP{Y=k}=\sum_{k=0}^{\infty}exp(-\lambda)\bruch{(k-\lambda)^{2}*\lambda^{k}}{k!}
[/mm]
Ist das soweit überhaupt richtig? Und wie ginge es weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Sa 20.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
für die c) schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier .
Gruß
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