Erwartungswert und Varianz < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie jeweils Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung zu folgenden Dichtefunktionen. Skiziieren Sie außerdem Dichtefunktion f und zugehörige Verteilungsfunktion F.
a)
[Dateianhang nicht öffentlich]
b)
[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \\ \alpha{e}^{-\lambda*t}, & \mbox{für } t\ge0 \end{cases}
[/mm]
Dabei sei [mm] \lambda>0 [/mm] fix und [mm] \alpha\in\IR [/mm] geeignet zu bestimmen
c)
[mm] f(x_i)=(1-q)q^i [/mm] für [mm] x_i\in\IN_0
[/mm]
Hinweis: [mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
d) [mm] f(t)=\bruch{1}{\sigma*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{1-\mu}{\sigma})^2} [/mm] |
a)
Erwartungswert:
[mm]E(X)=-1*0,1+0*0,4+1*0,2+2*0,2+3*0,1=0,8[/mm]
Varianz:
[mm] Var(X)=(-1-0,8)^2*0,1+(0-0,8)^2*0,4+(1-0,8)^2*0,2+(2-0,8)^2*0,2+(3-0,8)^2*0,1=1,1
[/mm]
Standardabweichung:
[mm] \sigma=\pm\wurzel{1,1}
[/mm]
b) Wie bestimme ich [mm] \lambda [/mm] und [mm] \alpha [/mm] ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Sa 12.12.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Rebellismus!
> Berechnen Sie jeweils Erwartungswert, Varianz und
> Standardabweichung zu folgenden Dichtefunktionen.
> Skiziieren Sie außerdem Dichtefunktion f und zugehörige
> Verteilungsfunktion F.
>
> a)
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> b)
>
> [mm]f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \\ \alpha{e}^{-\lambda*t}, & \mbox{für } t\ge0 \end{cases}[/mm]
>
> Dabei sei [mm]\lambda>0[/mm] fix und [mm]\alpha\in\IR[/mm] geeignet zu
> bestimmen
>
> c)
>
> [mm]f(x_i)=(1-q)q^i[/mm] für [mm]x_i\in\IN_0[/mm]
>
> Hinweis: [mm]\summe_{i=0}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> d)
> [mm]f(t)=\bruch{1}{\sigma*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{1-\mu}{\sigma})^2}[/mm]
>
> a)
>
> Erwartungswert:
>
> [mm]E(X)=-1*0,1+0*0,4+1*0,2+2*0,2+3*0,1=0,8[/mm]
>
> Varianz:
>
> [mm]Var(X)=(-1-0,8)^2*0,1+(0-0,8)^2*0,4+(1-0,8)^2*0,2+(2-0,8)^2*0,2+(3-0,8)^2*0,1=1,1[/mm]
*Ich* komme auf [mm] $1,36\$.
[/mm]
> Standardabweichung:
>
> [mm]\sigma=\pm\wurzel{1,1}[/mm]
Wie kommst du auf [mm] $\pm$? [/mm] Es gilt [mm] $\sigma=\sqrt{Var(X)}\approx [/mm] 1.17$.
> b) Wie bestimme ich [mm]\lambda[/mm] und [mm]\alpha[/mm] ?
Du irrst dich: [mm] $\lambda>0$ [/mm] ist fix, also unveränderlich. Man sagt auch "fest".
Deine Aufgabe ist es nun [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] zu bestimmen. Dazu folgende Definition / Erinnerung:
Eine Dichtefunktion ist eine Abbildung [mm] $f\colon\IR\to[0,\infty)$, [/mm] so dass [mm] \int_{\IR}f(x)\mathrm{d}x [/mm] existiert und den Wert Eins hat.
Gruß
DieAcht
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[mm] 1=\integral_{0}^{\infty}{f(t) dt}
[/mm]
[mm] 1=\integral_{0}^{\infty}{\alpha*e^{-\lambda*t} dt}=[\bruch{-\alpha}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}=\bruch{\alpha}{\lambda}
[/mm]
[mm] \lambda=\alpha
[/mm]
Erwartungswert:
[mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty}{t*f(t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-t*e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, aber ich würde jetzt sagen:
E(X)=0
weil der Term [mm] -t*e^{-\lambda*t} [/mm] für [mm] t=\infty [/mm] gegen Null geht und der Term [mm] t*e^{-\lambda*t} [/mm] für t=0 ebenfalls gegen Null geht.
Varianz:
[mm] Var(X)=\integral_{0}^{\infty}{t^2*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-t^2*e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}=0
[/mm]
Standardabweichung:
[mm] \sigma=0
[/mm]
Stimmt die Lösung?
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Hallo,
> [mm]1=\integral_{0}^{\infty}{f(t) dt}[/mm]
>
> [mm]1=\integral_{0}^{\infty}{\alpha*e^{-\lambda*t} dt}=[\bruch{-\alpha}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}=\bruch{\alpha}{\lambda}[/mm]
>
> [mm]\lambda=\alpha[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Erwartungswert:
>
> [mm]E(X)=\integral_{0}^{\infty}{t*f(t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-t*e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}[/mm]
Das letzte "=" stimmt nicht mehr, will heißen, deine Stammfunktion passt nicht ...
Du solltest partiell integrieren ..
>
> Ich bin mir nicht sicher, aber ich würde jetzt sagen:
>
> E(X)=0
>
> weil der Term [mm]-t*e^{-\lambda*t}[/mm] für [mm]t=\infty[/mm] gegen Null
> geht und der Term [mm]t*e^{-\lambda*t}[/mm] für t=0 ebenfalls gegen
> Null geht.
>
> Stimmt die Lösung soweit?
Nicht ganz .... Leite zur Kontrolle "deine Stammfunktion" mal ab.
Gruß
schachuzipus
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Erwartungswert:
[mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty}{t*f(t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-t*e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}-[\bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}=\bruch{1}{\lambda}
[/mm]
aber jetzt stimmt die lösung oder?
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Hallo nochmal,
> Erwartungswert:
>
> [mm]E(X)=\integral_{0}^{\infty}{t*f(t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{t*\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-t*e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}-[\bruch{1}{\lambda}e^{-\lambda*t}]_0^{\infty}=\bruch{1}{\lambda}[/mm]
>
> aber jetzt stimmt die lösung oder?
Ja!
Gruß
schachuzipus
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Wie wende ich die allgemeine Formel:
[mm] E(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt}
[/mm]
bei aufgabe c) an?
Ich hätte folgendes integral gebildet:
[mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty}{x_i*f(x_i) dx}=\integral_{0}^{\infty}{x_i(1-q)q^i dx}
[/mm]
ist das dass richtige integral? wie integeriere ich das? betrachte ich das [mm] x_i [/mm] bei der Integration al sganz normales x? dann gilt ja
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x_i(1-q)q^i dx}=[\bruch{1}{2}x_i*(1-q)q^i]_{0}^{\infty}
[/mm]
ist das soweit richtig?
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Hallo,
> Wie wende ich die allgemeine Formel:
>
> [mm]E(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt}[/mm]
>
> bei aufgabe c) an?
>
> Ich hätte folgendes integral gebildet:
>
> [mm]E(X)=\integral_{0}^{\infty}{x_i*f(x_i) dx}=\integral_{0}^{\infty}{x_i(1-q)q^i dx}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> ist das dass richtige integral?
Nein, du hast doch hier einen diskreten Fall vorliegen, da brauchst du diese Summenformel ...
> wie integeriere ich das?
> betrachte ich das [mm]x_i[/mm] bei der Integration al sganz normales
> x? dann gilt ja
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x_i(1-q)q^i dx}=[\bruch{1}{2}x_i*(1-q)q^i]_{0}^{\infty}[/mm]
>
> ist das soweit richtig?
Nein
Gruß
schachuzipus
>
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Dann gilt für den Erwartungswert:
[mm] E(X)=\summe_{i=0}^{\infty}x_i*(1-q)q^i
[/mm]
Es gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}(1-q)q^i=(1-q)*\bruch{1}{1-q}=1
[/mm]
Dann gilt für:
[mm] E(X)=\summe_{i=0}^{\infty}x_i*(1-q)q^i=0+1+2+3+4+....+\infty=\infty
[/mm]
stimmt die Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 So 13.12.2015 | | Autor: | luis52 |
> Dann gilt für:
>
> [mm]E(X)=\summe_{i=0}^{\infty}x_i*(1-q)q^i=0+1+2+3+4+....+\infty=\infty[/mm]
>
> stimmt die Lösung?
>
Moin, mit Verlaub, das ist ziemlicher Unsinn. Es ist
$ [mm] E(X)=\summe_{i=0}^{\infty}i\cdot{}(1-q)q^i [/mm] $
zu bestimmen.
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wie bestimmt man bei d) den Erwartungswert und die Varianz?
soweit ich weiß kann man die gegebene DichteFunktion bei d) nicht integrieren
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 13.12.2015 | | Autor: | luis52 |
> wie bestimmt man bei d) den Erwartungswert und die
> Varianz?
>
$f(t)$ ist die Dichte einer Normalverteilung ...
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Ich verstehe nicht genau was du mir sagen willst.
Den Erwartungswert bestimmt man mit der formel:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt}
[/mm]
gegeben ist nun foglende Dichte:
[mm] f(t)=\bruch{1}{\sigma*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{1-\mu}{\sigma})^2}
[/mm]
Soweit ich weiß kann man f(t) nicht integrieren. Wie bestimme ich hier dann den erwatungswert?
außerdem ist doch das [mm] \mu [/mm] im exponenten doch der erwartungswert oder? das verwirrt mich ein bisschen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 So 13.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe nicht genau was du mir sagen willst.
>
> Den Erwartungswert bestimmt man mit der formel:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{t*f(t) dt}[/mm]
>
> gegeben ist nun foglende Dichte:
>
> [mm]f(t)=\bruch{1}{\sigma*\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}(\bruch{1-\mu}{\sigma})^2}[/mm]
f hast du falsch abgeschrieben
>
> Soweit ich weiß kann man f(t) nicht integrieren
••••••• und tf (t) ...... ?
Fred
>. Wie
> bestimme ich hier dann den erwatungswert?
>
> außerdem ist doch das [mm]\mu[/mm] im exponenten doch der
> erwartungswert oder? das verwirrt mich ein bisschen
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