Erwartungswert e^x < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich hab eine ganz dumme frage,aber irgendwie komme ich nicht darauf warum der Erwartungswert von [mm] e^{x}= [/mm] e-1 ist, wobei x gleichverteilt auf [0,1].
Klar ist [mm] \integral_{0}^{1}{e^{x} dx} [/mm] = e-1.
Aaaber...wenn ich den Erwartungswert ausrechnen will, muss es doch heissen [mm] \integral_{0}^{1}{ X * e^{x} dx}, [/mm] weil der erwartungswert so definiert ist!
Ich brauche bitte ganz schnell Hilfe......
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Die Dichtefunktion hat den Wert eins. !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:34 Do 14.07.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Stimmt, so gehts schneller 
Dafür braucht man aber $E[g(X)] = [mm] \integral_0^1 g(x)*f_X(x)\,dx$ [/mm] und [mm] $f_X \equiv [/mm] 1$ auf [0,1].
Wenn du das hattest, kannst es natürlich auch benutzen.
MFG,
Gono.
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Hiho,
> Hallo, ich hab eine ganz dumme frage
gibt keine dummen Fragen.
> aber irgendwie komme
> ich nicht darauf warum der Erwartungswert von [mm]e^{x}=[/mm] e-1
> ist, wobei x gleichverteilt auf [0,1].
> Klar ist [mm]\integral_{0}^{1}{e^{x} dx}[/mm] = e-1.
> Aaaber...wenn ich den Erwartungswert ausrechnen will, muss
> es doch heissen [mm]\integral_{0}^{1}{ X * e^{x} dx},[/mm] weil der
> erwartungswert so definiert ist!
Wie kommst du darauf?
Das stimmt so natürlich nicht!
> Ich brauche bitte ganz schnell Hilfe......
Machen wirs mal schrittweise:
$Y := [mm] e^X$
[/mm]
$E[Y] = [mm] \integral\,Y\,d\IP_Y [/mm] = [mm] \integral_{\IR}xf_Y(x)\,dx$
[/mm]
Wobei [mm] $f_Y(x)$ [/mm] die Verteilungsdichte von Y ist.
Die sieht wie aus?
MFG,
Gono.
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Ok, die Dichte Funktion Fy(x) = 1 ,in diesem fall, und x= Y, nach deiner Definition ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Do 14.07.2011 | | Autor: | luis52 |
> Ok, die Dichte Funktion Fy(x) = 1 ,in diesem fall, und x=
> Y, nach deiner Definition ?
Hier liegt wohl ein gewisses Mass an Verwirrung vor.
Gono hat zwei zwei Formeln zur Berechnung des Erwartungswertes angegeben (die letztendlich zum selben Ergebnis fuehren werden):
1) $E[g(X)] = [mm] \integral_\IR g(x)\cdot{}f_X(x)\,dx=\integral_0^1 e^x\,dx$ [/mm] mit [mm] $f_X(x)=1$ [/mm] fuer [mm] $0\le x\le [/mm] 1$ und [mm] $f_X(x)=0$ [/mm] sonst.
2) $ E[Y] = [mm] \integral_{\IR}xf_Y(x)\,dx [/mm] $, worin [mm] $f_Y(x)$ [/mm] die Dichte von [mm] $Y=e^X$ [/mm] ist. Die musst du aber erst noch bestimmen ...
vg Luis
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Guten Morgen erstmal, vielen für die hilfreichen antworten.
Ich bin jetzt gerade sehr verwirrt, bei der ersten Formel ist mir alles klar. Aber bei der 2.ten wüsste ich nicht wie ich dann fy(x) berechnen könnte,wenn Y= [mm] e^{x}... [/mm] ???
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Ich weiss nicht was ich beim 2-ten für x und fy(x) einsetzen muss...(PEINLICH)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Do 14.07.2011 | | Autor: | luis52 |
> Ich weiss nicht was ich beim 2-ten für x und fy(x)
> einsetzen muss...(PEINLICH)
Das braucht dir nicht peinlich zu sein. Hier ist der Ort, wo man etwas lernen kann.
$x_$ ist $x_$, das bleibt. Zur Bestimmung von [mm] $f_Y(x)$ [/mm] kannst du so vorgehen. Du berechnest die Verteilungsfunktion [mm] $F_Y$ [/mm] und leitest sie ab.
Also: Ueberleg dir zunaechst, welche Werte [mm] $Y=e^X$ [/mm] annimmt. Da $X$ Werte in [0,1] annimmt, nimmt $Y_$ Werte an in $[1,e]_$. Waehle also [mm] $x\in[1,e]_$. [/mm] Dann ist
[mm] $F_Y(x)=P(e^X\le x)=P(X\le \ln(x))=\ln(x)$.
[/mm]
Beachte: Die Verteilungsfunktion von $X_$ ist [mm] $F_X(x)=x$ [/mm] im Intervall [0,1], wo [mm] $\ln(x)$ [/mm] ja liegt.
Bestimme nun [mm] $f_Y(x)=F_Y'(x)$...
[/mm]
vg Luis
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Ich glaube ich steh aufm Schlauch... Die ableitung von ln (x) ist doch 1/x und für wenn ich für x genau x einsetze, dann steht bei mir hinter dem Integral Zeichen eine 1. also Integral von (x*(1/x)). :/
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Hallo planetbronze,
> Ich glaube ich steh aufm Schlauch... Die ableitung von ln
> (x) ist doch 1/x und für wenn ich für x genau x einsetze,
> dann steht bei mir hinter dem Integral Zeichen eine 1. also
> Integral von (x*(1/x)). :/
Ja, das schon, aber nur auf dem Intervall [mm][1,e][/mm], sonst ist die Dichte doch 0
Also hast du [mm]\int\limits_{\IR}{1\cdot{}\chi_{[1,e]}(x) \ dx}=\int\limits_{1}^{e}{1 \ dx}[/mm] zu bestimmen.
Gruß
schachuzipus
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Super vielen dank an euch, jetzt hab ich es verstanden :)
Vlg P.b.
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