Erwartungswert erste Rückkehr < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine relativ allgemeine Frage zu Markov-Ketten und Irrfahrten.
Gibt es eine Formel, oder generelle Vorgehensweise, wie man von einer Irrfahrt die erwartete Anzahl der Schritte bis zur ersten Rückkehr in den Startzustand berechnen kann?
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 So 08.05.2016 | | Autor: | Infinit |
Hallo impliziteFunktion,
allgemein hängt dies von der Anzahl der Zustände des Prozesses und von deren Übergangswahrscheinlichkeiten ab. Eine allgemeine Formel wirst Du dafür kaum finden, zumal die Frage dann noch zu klären ist, was eine "Irrfahrt" ist. Ist der direkte Übergang von einem mit dem Anfangszustand verbundenen Zustand in den Anfangszustand auch eine Irrfahrt oder müssen / sollen /dürfen da noch mehrere Zustände dran beteiligt sein (was ich stark vermute). Du merkst schon , wo bei solch einer Frage die Schwierigkeiten liegen und das macht eine eindeutige Antwort eigentlich unmöglich.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort.
Dann poste ich doch einmal den Kontext.
Es geht um diese Aufgabe:
Eine Fliege vollführt eine Irrfahrt auf den Eckpunkten eines Würfels. In jedem (diskreten) Zeitschritt verbleibt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 an ihrer aktuellen Position oder sie fliegt zu einem benachbarten Eckpunkt, welche sie unter allen benachbarten Eckpunkten mit gleicher Wahrscheinlichkeit auswählt. Seien A und B zwei diagonal gegenüberliegende Eckpunkte des Würfels. Angenommen, die Fliege starte in A.
a) Berechnen Sie die erwartete Anzahl von Zeitschritten bis zu einer ersten Rückkehr der Fliege nach A.
Und leider weiß ich nicht, wie man dies berechnet. Im Skript steht auch nichts konkretes...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 So 08.05.2016 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
gibt es dazu irgendein Bildchen, das würde die Diskussion wohl vereinfachen.
Zunächst einmal würde ich ein kleines Markov-Diagramm zeigen mit genau 8 Zuständen, die den acht Eckpunkten des Würfels entsprechen. Was wir dann schon mal wissen, ist, dass die Fliege mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 an solch einer Ecke sitzen bleibt. Mit einer Gesamtwahrscheinlichkeit von 3/4 fliegt sie also woanders hin. Jetzt komme ich allerdings ins Grübeln, denn was ist mit einem diagonal gegenüberliegenden Eckpunkt gemeint? Sprechen wir da von der Flächendiagonalen und auch nur in der dazugehörigen Ebene bewegt sich die Fliege oder ist damit auch eine Raumdiagonale gemeint (der Würfel könnte ja im Raum hängen). Von dieser Interpretation hängt die weitere Rechnung ab. Gibt es dazu noch Infos?
Ich vermute mal, dass wir in der Fläche bleiben und dass auch der diagonal gegenüberliegende Eckpunkt ein direkt ansteuerbarer Eckpunkt ist, klar ist dies jedoch nicht, dann hätten wir aber auch nur vier Zustände.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
Ein Bild habe ich mir dazu gemacht.
Der Diagonale Eckpunkt ist für Aufgabenteil a) aber doch gar nicht relevant. Nähere Informationen dazu gibt es nicht. Ich bin bisher davon ausgegangen, dass man die Raumdiagonale meint. Der Eckpunkt also im gewissen Sinne eindeutig ist.
|
|
|
| |
|
Hallo,
meine spontane Idee war, eine Bernoulli-Verteilung zu verwenden:
https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Verteilung
Erfolg = Rückkehr auf den Startpunkt.
Misserfolg = alles andere (kein Sprung oder Sprung auf eine andere Ecke).
Allerdings ist es so einfach nicht, weil die Sprünge ja nicht unabhängig voneinander sind. Man kann z.B. nicht von jeder anderen Ecke auf A zurück springen.
Darum wirst Du wohl nicht darum herum kommen, wie von Infinit vorgeschlagen ein Netz der Punkte zu zeichnen. Und dann ermittelst Du alle möglichen Wege durch das Netz und deren Wahrscheinlichkeiten. Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind zum Glück in alle Richtungen gleich.
Denkbar wäre auch, aufgrund des Markov-Netzwerks einen Entscheidungsbaum zu basteln. Damit kannst Du übersichtlich alle möglichen Wege darstellen.
Wobei: Wenn das eine Hausaufgabe fürs Studium ist, würde ich einfach die vorige Vorlesung nochmal ansehen. Üblicherweise wird erwartet, dass man eine der dort gezeigten Methoden anwendet. 
Erik
|
|
|
| |
|
Ich habe im Vorlesungsskript leider nichts gefunden, weshalb ich hier frage.
|
|
|
|
