Erwartungswert berechnen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo forum
In meiner Wahrscheinlichkeitskurs wurde als folgendes Beispiel für die Lognormalverteilung aufgeführt: Sei $Z$ standard normalverteilt dann wurde gesagt, dass folgender Erwartungswert wichtig sei in der Finanzmathematik. $a,b,c,d$ sind Konstanten.
[mm] $E[(ae^{bZ-c}-d)^+]=a\Phi(x_1)-d\Phi(x_2)$ [/mm] mit [mm] $x_1=\frac{\log{\frac{a}{d}+c}}{b}$ [/mm] und [mm] $x_2=\frac{\log{\frac{a}{d}-c}}{b}$
[/mm]
Nun wollte ich diesen berechnen:
[mm] $E[(ae^{bZ-c}-d)^+]=aE[e^{bZ-c}\mathbf1_A]-dP[A]$
[/mm]
wobei [mm] $A=\{e^{bZ-c}>\frac{d}{a}\}. [/mm] Für den zweiten Term hatte ich keine Mühe:
[mm] $P[A]=P[Z>\frac{\log{\frac{d}{a}}+c}{b}]=\Phi(-\frac{\log{\frac{d}{a}}+c}{b})$
[/mm]
wobei [mm] $\Phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der standard Normalverteilung ist. Der Erwartungswert bereitet mir grössere Mühe:
[mm] $E[e^{bZ-c}\mathbf1_A]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}b}\int_d^\infty \frac{1}{x}e^{-\frac{(\log{x}+c)^2}{2b^2}}dx$
[/mm]
Nun wollte ich [mm] $u=\frac{\log{x}+c}{b}$ [/mm] setzen. Dann erhalte ich
[mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{l}^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}dx$
[/mm]
mit [mm] $l=\frac{\log{\frac{d}{a}+c}}{b}$ [/mm] . Dies würde ja wieder das obige ergeben, was aber nicht stimmt. Es sollte [mm] $\Phi(\frac{\log{\frac{a}{d}+c}}{b})$ [/mm] ergeben. Wo ist mein Fehler?
Danke und Gruss
phyiscus
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Hallo,
ich kann auch keinen Fehler in deinen Rechnungen sehen.
Habt ihr eine Referenz bekommen, so dass man die Behauptung (die du zu beweisen versuchst) überprüfen kann?
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Fr 28.06.2013 | | Autor: | physicus |
Hallo steppenhahn
Ja, es wurde gesagt, dass der Erwartungswert folgendes Ergebnis sei:
[mm] $$a\Phi(x_1)-d\Phi(x_2)$$.
[/mm]
Es wurde gesagt, dass dies in der Finanzmathematik der Preis einer Kauf-Option im Black-Scholes Modell sei.
Gruss
physicus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:58 Mi 31.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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