Erwartungswert berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mo 06.06.2011 | | Autor: | jay91 |
| Aufgabe | sei [mm] (X_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen mit [mm] EX_1^2 [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] \overline{X_n} [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_i
[/mm]
i) bestimmen sie [mm] E(\bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2) [/mm] |
so wie löse ich das?
erstmal habe ich gedacht:
[mm] E(\bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2)= \bruch{1}{n-1} E(\summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2) [/mm] = [mm] \bruch{n}{n-1} E(X_1-\overline{X_n})^2) [/mm] = [mm] \bruch{n}{n-1} E(X_1-\overline{X_n}) E(X_1-\overline{X_n})
[/mm]
geht das so überhaupt? dachte die schritte gehen, da die zufallsvariablen unabhängig und identlisch verteilt sind.
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Hallo jay91,
> sei [mm](X_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge reellwertiger
> Zufallsvariablen mit [mm]EX_1^2[/mm] < [mm]\infty[/mm] und [mm]\overline{X_n}[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_i[/mm]
> i) bestimmen sie
> [mm]E(\bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2)[/mm]
>
> so wie löse ich das?
>
> erstmal habe ich gedacht:
> [mm]E(\bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2)= \bruch{1}{n-1} E(\summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2)[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{n-1} E(X_1-\overline{X_n})^2)[/mm] = [mm]\bruch{n}{n-1} E(X_1-\overline{X_n}) E(X_1-\overline{X_n})[/mm]
>
> geht das so überhaupt? dachte die schritte gehen, da die
Bis hierhin geht das:
[mm]E(\bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2)= \bruch{1}{n-1} E(\summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2)[/mm]
Multipliziere jetzt die Klammer aus und
verwende die Linearität des Erwartungswertes.
> zufallsvariablen unabhängig und identlisch verteilt sind.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Di 07.06.2011 | | Autor: | jay91 |
ok, dann sieht es so aus:
[mm] E(\bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2)= \bruch{1}{n-1} E(\summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} E(\summe_{i=1}^{n}(X_i^2-2*X_i*\overline{X_n}+\overline{X_n}^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} (E(\summe_{i=1}^{n}(X_i^2)-2*E(\summe_{i=1}^{n}X_i*\overline{X_n})+E\summe_{i=1}^{n}(\overline{X_n}^2)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} (n*E(X_1^2)-2*n*E(X_1^2)+n*E(X_1^2))=0
[/mm]
richtig so? habe am ende ein paar schritte übersprungen, hoffe das stimmt so.
mfg
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Hallo jay91,
> ok, dann sieht es so aus:
> [mm]E(\bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2)= \bruch{1}{n-1} E(\summe_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X_n})^2)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n-1} E(\summe_{i=1}^{n}(X_i^2-2*X_i*\overline{X_n}+\overline{X_n}^2)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n-1} (E(\summe_{i=1}^{n}(X_i^2)-2*E(\summe_{i=1}^{n}X_i*\overline{X_n})+E\summe_{i=1}^{n}(\overline{X_n}^2))[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n-1} (n*E(X_1^2)-2*n*E(X_1^2)+n*E(X_1^2))=0[/mm]
Da haben sich ein paar Fehler eingeschlichen:
[mm]E(\summe_{i=1}^{n}X_i*\overline{X_n}) \not= n*E(X_1^2)[/mm]
[mm]E\summe_{i=1}^{n}(\overline{X_n}^2)) \not= n*E(X_1^2)[/mm]
Sicherlich weisst Du, was der Erwartungswert einer Konstanten,
bzw. einer Konstanten multipliziert mit einer Zufallsvariablen ist.
[mm]E\left(a\right)= \ ...[/mm]
[mm]E\left(a*X_{1}\right)= \ ...[/mm]
>
> richtig so? habe am ende ein paar schritte übersprungen,
> hoffe das stimmt so.
> mfg
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 So 12.06.2011 | | Autor: | jay91 |
ok, danke.
denke ich habe die aufgabe gelöst.
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