Erwartungswert, (X*(X-1)) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Mo 01.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | X..Zufallsvariable
[mm] \Omega.. [/mm] grundraum
E(X)= [mm] \sum_{x \in X(\Omega)} [/mm] x P(X=x)
Was ist dann E[X*(X-1)]=? und warum? |
Habe das nämlich bei der Binomialverteilung entdeckt:
E[X*(X-1)]= [mm] \sum_{k=0}^n [/mm] k *(k-1) * [mm] p^k (1-p)^{n-k}
[/mm]
und frag mich warum das so ist.
warum wird nicht das k auch in der Verteilung durch k*(k-1) ersetzt?
Ich verstehe das nicht.
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:18 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Walde |
hi Sissile,
> X..Zufallsvariable
> [mm]\Omega..[/mm] grundraum
> E(X)= [mm]\sum_{x \in X(\Omega)}[/mm] x P(X=x)
> Was ist dann E[X*(X-1)]=? und warum?
> Habe das nämlich bei der Binomialverteilung entdeckt:
> E[X*(X-1)]= [mm]\sum_{k=0}^n[/mm] k *(k-1) * [mm]p^k (1-p)^{n-k}[/mm]
> und
> frag mich warum das so ist.
> warum wird nicht das k auch in der Verteilung durch k*(k-1)
> ersetzt?
>
> Ich verstehe das nicht.
>
> LG
Es ist ja [mm] $X*(X-1)=X^2-X$. [/mm] Wenn du dann noch die Rechenregel für Erwartungswerte kennst, weißt du das [mm] $E(X*(X-1))=E(X^2)-E(X)$ [/mm] ist. Betrachten wir nun [mm] $E(X^2)=\summe_{k=0}^{n}k^2*P(X^2=k^2)$. [/mm] Wann ist [mm] $X^2=k^2$? [/mm] Da X nur positive Werte annehmen kann, natürlich genau dann, wenn $X=k$ ist. Es ist also [mm] $P(X^2=k^2)=P(X=k)$. [/mm] Siehst du wie es weitergeht? Der Rest besteht nur noch aus Ausklammern.
LG walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mo 01.04.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
E[X*(X-1)] = [mm] E[X^2] [/mm] -E[X] = $ [mm] \sum_{k=0}^n [/mm] $ [mm] k^2 [/mm] * $ [mm] p^k (1-p)^{n-k} [/mm] $-$ [mm] \sum_{k=0}^n [/mm] $ k $ [mm] p^k (1-p)^{n-k}$= \sum_{k=0}^nk^2*p^k (1-p)^{n-k}-kp^k(1-p)^{n-k} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n (k^2-k)*p^k (1-p)^{n-k}
[/mm]
Ich dachte vorher: $ [mm] E(X^2)=\summe_{k=0}^{n}k^2\cdot{}P(X=k^2) [/mm] $.
Mir ist nicht ganz klar wieso auch bei X das quadrat bleibt?
|
|
|
| |
|
> Mir ist nicht ganz klar wieso auch bei X das quadrat bleibt?
Ich glaube das ist egal, weil man damit nur etwas auszählt also sich in den Mengen [mm] \{X=k^2\} [/mm] und [mm] \{X^2=k^2\} [/mm] gleich viele Elemente befinden. Oder man sagt, solange [mm] k\geq [/mm] 0 ist, es eine Bijektion zwischen den Funktionen [mm] X=k^2 [/mm] und [mm] X^2=k^2 [/mm] gibt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Walde |
Beim Erwartungswert einer Zufallsvariablen (ZV), werden ja alle möglichen Werte, die diese annehmen kann, mit der W'keit multipliziert, dass dieser Wert von der ZV auch angenommen wird (und alle diese Produkte aufaddiert). Und jetzt ist die ZV eben nicht $X$ , sondern [mm] $X^2$. [/mm] Es geht also um die Werte, die [mm] X^2 [/mm] annimmt und die W'keiten, dass [mm] X^2 [/mm] diesen Wert annimmt und nicht X. Deshalb [mm] P(X^2=k^2) [/mm] .
LG walde
|
|
|
|
