Erwartungswert Varianz < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] X_{1} [/mm] die Laufzeit des ursprünglichen Algorithmus und [mm] X_{2} [/mm] die Laufzeit eines neuen Algorithmus.
Die Lösung ergibt [mm] E(X_2) \le E(X_1) [/mm] (oder [mm] \ge) [/mm] genau dann, wenn [mm] \bruch{1+p}{p}\le\bruch{k_1}{k_2} [/mm] (oder [mm] \ge) [/mm] gilt.
(a) Berechnen Sie [mm] Var(X_1) [/mm] und [mm] Var(X_2).
[/mm]
(b) Wann ist [mm] Var(X_2) [/mm] < [mm] Var(X_1)?
[/mm]
(c) Zeigen Sie: Ist [mm] E(X_1) [/mm] = [mm] E(X_2), [/mm] so gilt [mm] Var(X_1) [/mm] < [mm] Var(X_2).
[/mm]
Damit ist der ursprüngliche Algorithmus vorzuziehen, wenn extrem lange Laufzeiten überproportionale Kosten verursachen.
(Hinweis: Die Betrachtung des Parameters [mm] \bruch{k_2}{k_1} [/mm] ist nützlich.) |
Hallo,
die Erwartungswerte mit [mm] E(X_1)=pk_1+(1-p)k_2 [/mm] und [mm] E(X_2)=\bruch{k_1}{p}
[/mm]
wurden in einer anderen Aufgabe berechnet.
bei a) wende ich das Verschiebunggesetz an:
[mm] Var(X_1)= E(X_1^2)-(E(X_1))^2= E(X_1^2)-(pk_1+(1-p)k_2)^2
[/mm]
[mm] Var(X_2)= E(X_2^2)-(E(X_2))^2= E(X_2^2)-(\bruch{k_1}{p})^2
[/mm]
Wie kann ich hier [mm] E(X_1^2) [/mm] bzw. [mm] E(X_2^2) [/mm] berechnen?
Schönene Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Fr 02.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es bezeichne [mm]X_{1}[/mm] die Laufzeit des ursprünglichen
> Algorithmus und [mm]X_{2}[/mm] die Laufzeit eines neuen
> Algorithmus.
> Die Lösung ergibt [mm]E(X_2) \le E(X_1)[/mm] (oder [mm]\ge)[/mm] genau dann,
> wenn [mm]\bruch{1+p}{p}\le\bruch{k_1}{k_2}[/mm] (oder [mm]\ge)[/mm] gilt.
>
> (a) Berechnen Sie [mm]Var(X_1)[/mm] und [mm]Var(X_2).[/mm]
> (b) Wann ist [mm]Var(X_2)[/mm] < [mm]Var(X_1)?[/mm]
> (c) Zeigen Sie: Ist [mm]E(X_1)[/mm] = [mm]E(X_2),[/mm] so gilt [mm]Var(X_1)[/mm] <
> [mm]Var(X_2).[/mm]
> Damit ist der ursprüngliche Algorithmus vorzuziehen, wenn
> extrem lange Laufzeiten überproportionale Kosten
> verursachen.
> (Hinweis: Die Betrachtung des Parameters [mm]\bruch{k_2}{k_1}[/mm]
> ist nützlich.)
>
> Hallo,
> die Erwartungswerte mit [mm]E(X_1)=pk_1+(1-p)k_2[/mm] und
> [mm]E(X_2)=\bruch{k_1}{p}[/mm]
> wurden in einer anderen Aufgabe berechnet.
Da dies wohl Teil einer groesseren Aufgabe ist, kannst du uns mehr Infos liefern? Ich denke ohne weitere Informationen kann man diesen Teil nicht loesen.
> bei a) wende ich das Verschiebunggesetz an:
> [mm]Var(X_1)= E(X_1^2)-(E(X_1))^2= E(X_1^2)-(pk_1+(1-p)k_2)^2[/mm]
>
> [mm]Var(X_2)= E(X_2^2)-(E(X_2))^2= E(X_2^2)-(\bruch{k_1}{p})^2[/mm]
>
> Wie kann ich hier [mm]E(X_1^2)[/mm] bzw. [mm]E(X_2^2)[/mm] berechnen?
Dazu muss man mehr ueber [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] wissen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Hallo felixf,
über diese Aufgabenstellung wurden die Erwartungswerte bestimmt.
Für [mm] X_1:
[/mm]
Sei X die Laufzeit eines Algorithmus,
der nach [mm] k_1 [/mm] Schritten mit Wahrscheinlichkeit p und mit
W-keit 1-p nach [mm] k_2 [/mm] Schritten terminiert (k1 < k2).
=>$ [mm] E(X_1)=pk_1+(1-p)k_2 [/mm] $
Für [mm] X_2 [/mm] wird der 1. Algorithmus abgeändert:
Bei nicht erfolgter Ausgabe nach k1 Schritten wird der Algorithmus jeweils stets neu gestartet (dabei ist das Ergebnis des nächsten Durchlaufs "unabhängig" von der Vorgeschichte).
=>$ [mm] E(X_2)=\bruch{k_1}{p} [/mm] $
Dies Lösung wurden schon in einer Übung besprochen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Sa 03.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> über diese Aufgabenstellung wurden die Erwartungswerte
> bestimmt.
>
> Für [mm]X_1:[/mm]
> Sei X die Laufzeit eines Algorithmus,
> der nach [mm]k_1[/mm] Schritten mit Wahrscheinlichkeit p und mit
> W-keit 1-p nach [mm]k_2[/mm] Schritten terminiert (k1 < k2).
> =>[mm] E(X_1)=pk_1+(1-p)k_2[/mm]
Exakt.
> Für [mm]X_2[/mm] wird der 1. Algorithmus abgeändert:
> Bei nicht erfolgter Ausgabe nach k1 Schritten wird der
> Algorithmus jeweils stets neu gestartet (dabei ist das
> Ergebnis des nächsten Durchlaufs "unabhängig" von der
> Vorgeschichte).
> =>[mm] E(X_2)=\bruch{k_1}{p}[/mm]
Genau.
> Dies Lösung wurden schon in einer Übung besprochen.
Und damit erhaelst du [mm] $E(X_1^2) [/mm] = p [mm] k_1^2 [/mm] + (1 - p) [mm] k_2^2$: [/mm] die Zufallsvariable [mm] $X_1^2$ [/mm] nimmt mit Wahrscheinlichkeit $p$ den Wert [mm] $k_1^2$ [/mm] an, und mit Wahrscheinlichkeit $1 - p$ den Wert [mm] $k_2^2$.
[/mm]
Den Erwartungswert fuer [mm] $X_2^2$ [/mm] darfst du jetzt selber bestimmen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 05.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 04.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
gelöscht
|
|
|
|
