Erwartungswert, Varianz < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 Di 02.12.2014 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | | Weisen Sie nach, dass der Erwartungswert linear ist und dass für Varianz gilt: $Var(a+bX) = b^2Var(X)$ mit $a, b [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] |
Das sollte ja reichen, oder? Stetig verteilte X:
E(a+bX) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{(a+bx)\cdot f(x)dx}\\
[/mm]
= [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{a\cdot f(x)+bx\cdot f(x)dx}\\
[/mm]
= [mm] a\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}+b\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{x\cdot f(x)dx}\\
[/mm]
= [mm] a+b\cdot [/mm] E(X)
Diskret verteilte X:
E(a+bX) = [mm] \sum_{x\in X(\Omega)}{(a+bx)\cdot p(x)}\\
[/mm]
= [mm] \sum_{x\in X(\Omega)}{a\cdot f(x)+bx\cdot p(x)}\\
[/mm]
= [mm] a\cdot\sum_{x\in X(\Omega)}{p(x)}+b\cdot\sum_{x\in X(\Omega)}{x\cdot p(x)}\\
[/mm]
= [mm] a+b\cdot [/mm] E(X)
Und für Varianz:
Var(a+bX) = [mm] \Er\big(a+bX [/mm] - [mm] E(a+bX)\big)^2\\
[/mm]
= [mm] \Er\big(a+bX [/mm] - a - [mm] bE(X)\big)^2\\
[/mm]
= [mm] \Er\big(bX [/mm] - [mm] bE(X)\big)^2\\
[/mm]
= [mm] b^2\cdotE\big(X [/mm] - [mm] E(X)\big)^2\\
[/mm]
= [mm] b^2\cdot\Var(X)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Di 02.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Weisen Sie nach, dass der Erwartungswert linear ist und
> dass für Varianz gilt: [mm]Var(a+bX) = b^2Var(X)[/mm] mit [mm]a, b \in \mathbb{R}[/mm].
>
> Das sollte ja reichen, oder? Stetig verteilte X:
>
> E(a+bX) = [mm]\int_{-\infty}^{\infty}{(a+bx)\cdot f(x)dx}\\[/mm]
> =
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty}{a\cdot f(x)+bx\cdot f(x)dx}\\[/mm]
> =
> [mm]a\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}+b\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{x\cdot f(x)dx}\\[/mm]
>
> = [mm]a+b\cdot[/mm] E(X)
>
> Diskret verteilte X:
>
> E(a+bX) = [mm]\sum_{x\in X(\Omega)}{(a+bx)\cdot p(x)}\\[/mm]
> =
> [mm]\sum_{x\in X(\Omega)}{a\cdot f(x)+bx\cdot p(x)}\\[/mm]
> =
> [mm]a\cdot\sum_{x\in X(\Omega)}{p(x)}+b\cdot\sum_{x\in X(\Omega)}{x\cdot p(x)}\\[/mm]
>
> = [mm]a+b\cdot[/mm] E(X)
>
> Und für Varianz:
>
> Var(a+bX) = [mm]\Er\big(a+bX[/mm] - [mm]E(a+bX)\big)^2\\[/mm]
> = [mm]\Er\big(a+bX[/mm] - a - [mm]bE(X)\big)^2\\[/mm]
> = [mm]\Er\big(bX[/mm] - [mm]bE(X)\big)^2\\ [/mm]
> = [mm]b^2\cdotE\big(X[/mm] - [mm]E(X)\big)^2\\[/mm]
> = [mm]b^2\cdot\Var(X)[/mm]
Alles korrekt, wenn Du am Ende noch schreibst: = [mm]b^2\cdot Var(X)[/mm]
FRED
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