Erwartungswert Transf.-Formel < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer Urne befinden sich 2 rote und 3 weiße Kugeln. Es werden ohne Zurücklegen 2 Kugeln gezogen.
a) Die Zufallsvar. $X$ beschreibe die Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe. Bestimme die Veteilung von $X$ und den zugehörigen Erwartungswert.
b)Das Experiment wird nun 10-malig durchgeführt: d.h. bei jedem einzelnen Experiment werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, dann werden sie zurückgelegt und das Experiment wird wiederholt. Dabei gebe die Zufallsvar. $Y$ nun die Anzahl der roten Kugeln in diesem (großen) Experiment an. Berechne die Verteilung von $Y$ und den Erwartungswert. |
Ich bin mal wieder am Verzweifeln mit W-theorie, was - ich kann es gar nicht oft genug sagen - überhaupt nicht mein Fach ist. Die obige Aufgabe ist mir in einem buch begegenet, mit dem ich für miene Prüfung lerne.
Nun gut ...
das Experiment in a) ist hypergeometrisch zu modellieren. Dabei erhalte ich nach Einsetzen aller gegebenen Angaben und einigen Umformungen/Vereinfachungen $P(X=k) = [mm] \bruch{3!}{5 k!^2 (k+1) (2-k)!^2} [/mm] $, was auch - nach manueller Prüfung durch das Errechnen mittels Baum richtig ist.
Entsprechend erhalte ich für den Erwarrtungswert [mm] $E(X)=\summe_{k=0}^{2} [/mm] k P(X=k) = [mm] \bruch{8}{10}$.
[/mm]
Bei b) weiß ich, dass es im Grunde 10 einzelne unabhängige Experimente sind, bei der die Anzahl der Erfolge (rote Kugeln) in der Stichprobe relevant ist und nicht die Reihenfolge, in der die Erfolge auftreten. Hier wende ich folglich die binomiale Verteilung an. Für die Wahrscheinlichkeit, dass also $r$ rote Kugeln am Ende gezogen wurden, gilt:
[mm] $P(Y=r)=\vektor{10 \\ r} P(X=k)^r (1-P(X=k))^{10-r}$.
[/mm]
Aber: Wie erhalte ich nun den Erwartungswert $ E(Y) $ ? Wie wende ich nun die Transformationsformel genau an? Vielleicht kann mir jemand durch Auflistung der einzelnen Rechenschritte weiterhelfen, denn ich komme irgendwie zu keinem "vernünfitgen" Ergebnis. Heisst: Nach Einsetzen des Gegebenen habe ich im Grunde keine Idee, wie ich weiter arbeiten soll.
Vielen Dank und beste Grüße,
Matzematisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Sa 24.02.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ich bin mal wieder am Verzweifeln mit W-theorie, was - ich
> kann es gar nicht oft genug sagen - überhaupt nicht mein
> Fach ist.
Moin Mathias,
nicht verzweifeln, Hilfe naht!
> Die obige Aufgabe ist mir in einem buch
> begegenet, mit dem ich für miene Prüfung lerne.
> Nun gut ...
> das Experiment in a) ist hypergeometrisch zu modellieren.
> Dabei erhalte ich nach Einsetzen aller gegebenen Angaben
> und einigen Umformungen/Vereinfachungen [mm]P(X=k) = \bruch{3!}{5 k!^2 (k+1) (2-k)!^2} [/mm],
> was auch - nach manueller Prüfung durch das Errechnen
> mittels Baum richtig ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Entsprechend erhalte ich für den Erwarrtungswert
> [mm]E(X)=\summe_{k=0}^{2} k P(X=k) = \bruch{8}{10}[/mm].
>
> Bei b) weiß ich, dass es im Grunde 10 einzelne unabhängige
> Experimente sind, bei der die Anzahl der Erfolge (rote
> Kugeln) in der Stichprobe relevant ist und nicht die
> Reihenfolge, in der die Erfolge auftreten. Hier wende ich
> folglich die binomiale Verteilung an. Für die
> Wahrscheinlichkeit, dass also [mm]r[/mm] rote Kugeln am Ende gezogen
> wurden, gilt:
> [mm]P(Y=r)=\vektor{10 \\ r} P(X=k)^r (1-P(X=k))^{10-r}[/mm].
Zunaechst einmal zu der Formel. Die *kann* nicht stimmen, denn $Y$ kann die Werte $0,1,2,...,20$ annehmen. Fuer Werte $r>10$ ist aber $ {10 [mm] \choose [/mm] r } = 0$ ...
Kennst du den Faltungssatz? Den kannst anwenden, denn $Y$ ist die
von zehn unabhaengigen hypergeometrisch verteilten Zufallsvariablen
[mm] $X_1,\dots,X_{10}$. [/mm] Genauer gilt nach a) [mm] $P(X_i=0)=0.3$, $P(X_i=1)=0.6$,
[/mm]
[mm] $P(X_i=2)=0.1$. [/mm] Unter mehrfacher Anwendung des Faltungssatz erhalte ich
mit R die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion von $Y$:
$r$ $P(Y=r)$
0 0.0000059049
1 0.0001180980
2 0.0010825650
3 0.0060229980
4 0.0227043405
5 0.0613164816
6 0.1223757720
7 0.1836555120
8 0.2091275010
9 0.1813722840
10 0.1199254572
11 0.0604574280
12 0.0232363890
13 0.0068020560
14 0.0015108120
15 0.0002523312
16 0.0000311445
17 0.0000027540
18 0.0000001650
19 0.0000000060
20 0.0000000001
> Aber:
> Wie erhalte ich nun den Erwartungswert [mm]E(Y)[/mm] ?
Die Berechnung des Erwartungswerts ist einfach:
[mm] $\mbox{E}[Y]=\sum_{i=1}^{10}\mbox{E}[X_i]=10\times0.8=8$.
[/mm]
hth
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Hallo Luis,
danke für Deine Antwort und Mühe.
Muss aber zuegben: Kann Dir noch nicht so ganz folgen:
> > [mm]P(Y=r)=\vektor{10 \\ r} P(X=k)^r (1-P(X=k))^{10-r}[/mm].
>
> Zunaechst einmal zu der Formel. Die *kann* nicht stimmen,
> denn [mm]Y[/mm] kann die Werte [mm]0,1,2,...,20[/mm] annehmen. Fuer Werte
> [mm]r>10[/mm] ist aber [mm]{10 \choose r } = 0[/mm] ...
Warum kann sie nicht stimmen? Ich führe doch 10-mal ein und das selbe Experiment wiederholt aus, bei dem ich doch jedes einzelne Mal die Erfolgswahrscheinlichkeit $P(X=K)$ habe. Wo liegt mein Denkfehler?
> Kennst du den Faltungssatz? Den kannst anwenden, denn $Y$ ist die
> von zehn unabhaengigen hypergeometrisch verteilten Zufallsvariablen
> [mm] $X_1,\dots,X_{10}$. [/mm] Genauer gilt nach a) [mm] $P(X_i=0)=0.3$, [/mm] > [mm] $P(X_i=1)=0.6$, [/mm]
> [mm] $P(X_i=2)=0.1$. [/mm] Unter mehrfacher Anwendung des Faltungssatz erhalte > ich
> mit R die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion von $Y$:
Ganz dumm gefragt:
Sind die [mm] $X_1,\dots,X_{10}$ [/mm] die Zufallsvariablen, die angeben, wie viele rote Kugeln in der Stichprobe nach Ausführen des $i$-ten Experimentdurchlaufes sind? Dann würde, wenn ich tatsächlich langsam anfangen sollte, es zu verstehen, für $Y$ gelten: $Y= [mm] \summe_{i=1}^{10} X_i [/mm] $. Die [mm] $X_i$ [/mm] hätten dann die von Dir genannten Verteilungen, die ja identisch ist mit der Verteilung von $X$, also der einzelnen Durchführung des Experimentes. Hierfür kenne ich ja bereits den Erwartungswert und kann dann daraus - da habe ich scheinbar beim ersten Mal viel zu kompliziert gedacht, weil ich ja auf die einzelnen $X-i$ nicht gekommen bin - mithilfe der Additivität des Erwartungswertes ja $E(Y)$ berechnen. Richtig?
Sorry, aber ich bin in W-Theorie leider etwas langsamer ... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Sa 24.02.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
>
> danke für Deine Antwort und Mühe.
>
> Muss aber zuegben: Kann Dir noch nicht so ganz folgen:
>
> > > [mm]P(Y=r)=\vektor{10 \\ r} P(X=k)^r (1-P(X=k))^{10-r}[/mm].
>
> >
> > Zunaechst einmal zu der Formel. Die *kann* nicht stimmen,
> > denn [mm]Y[/mm] kann die Werte [mm]0,1,2,...,20[/mm] annehmen. Fuer Werte
> > [mm]r>10[/mm] ist aber [mm]{10 \choose r } = 0[/mm] ...
>
> Warum kann sie nicht stimmen? Ich führe doch 10-mal ein und
> das selbe Experiment wiederholt aus, bei dem ich doch jedes
> einzelne Mal die Erfolgswahrscheinlichkeit [mm]P(X=K)[/mm] habe. Wo
> liegt mein Denkfehler?
Jede der Zufallsvariablen [mm] $X_i$ [/mm] kann die Werte 0, 1 oder 2 annehmen, je nachdem, ob im $i$-ten Durchgang keine, eine oder zwei rote Kugeln gezogen werden. Die Extreme, die $Y$ annimmt, sind 0 oder 20. $Y$ nimmt den Wert 0 an, wenn in allen zehn Durchgaengen keine rote Kugel erscheint. Hingegen nimmt $Y$ den Wert 20 an, wenn in allen zehn Durchgaengen jeweils zwei rote Kugeln erscheinen.
>
> > Kennst du den Faltungssatz? Den kannst anwenden, denn [mm]Y[/mm]
> ist die
> > von zehn unabhaengigen hypergeometrisch verteilten
> Zufallsvariablen
> > [mm]X_1,\dots,X_{10}[/mm]. Genauer gilt nach a) [mm]P(X_i=0)=0.3[/mm], >
> [mm]P(X_i=1)=0.6[/mm],
> > [mm]P(X_i=2)=0.1[/mm]. Unter mehrfacher Anwendung des Faltungssatz
> erhalte > ich
> > mit R die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion von [mm]Y[/mm]:
>
> Ganz dumm gefragt:
>
> Sind die [mm]X_1,\dots,X_{10}[/mm] die Zufallsvariablen, die
> angeben, wie viele rote Kugeln in der Stichprobe nach
> Ausführen des [mm]i[/mm]-ten Experimentdurchlaufes sind? Dann würde,
> wenn ich tatsächlich langsam anfangen sollte, es zu
> verstehen, für [mm]Y[/mm] gelten: [mm]Y= \summe_{i=1}^{10} X_i [/mm]. Die [mm]X_i[/mm]
> hätten dann die von Dir genannten Verteilungen, die ja
> identisch ist mit der Verteilung von [mm]X[/mm], also der einzelnen
> Durchführung des Experimentes. Hierfür kenne ich ja
> bereits den Erwartungswert und kann dann daraus - da habe
> ich scheinbar beim ersten Mal viel zu kompliziert gedacht,
> weil ich ja auf die einzelnen [mm]X-i[/mm] nicht gekommen bin -
> mithilfe der Additivität des Erwartungswertes ja [mm]E(Y)[/mm]
> berechnen. Richtig?
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