Erwartungswert Komplexe Varia. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Sa 07.01.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Mein Verständnis zu Zufallsvariablen ist gerade etwas durcheinander. Hier mal was in meinem Skript steht:
"Falls X und Y unabhängige reelle oder komplexe Zufallsgrössen sind, gilt sowohl
E[X*Y] = E[X]*E[Y] (1)
als auch
[mm] E[X*\overline{Y}]= E[X]*\overline{E[Y]} [/mm] (2)
Zwei reelle oder komplexe Zufallsgrössen sind unkorreliert, falls (2) gilt. Unabhängige Zufallsgrössen sind also immer unkorreliert.
Für reelle fallen (1) und (2) offensichtlich zusammen. Für komplexe Zufallsgrössen sind (1) und (2) aber nicht äquivalent!
Beispiel:
Die komplexe Zufallsgrösse X nehme mit Wahrscheinlichkeit p = 1/4 je einen Wert aus {1,-1,i,-i} an. Offensichtlich gilt E[x] = 0. Mit Y = X Erhalten wir E[X*Y] = [mm] E[X^{2}] [/mm] = 0 aber [mm] E[X*\overline{Y}] =E[|X^{2}|] [/mm] = 1. Somit gilt (1), aber nicht (2)."
Was ich daran nicht verstehe ist, wenn man sagt Y = X muss das ja nicht heissen, dass X und Y voneinander abhängig sind. Es bedeutet nur dass sie die gleiche Verteilung haben. Da aber (2) nicht gilt heisst dass, dass sie abhängig sind. Aber sie könnten doch auch nicht abhängig voneinander sein??
Danke sehr!
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 08.01.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo,
Hi qsxqsx
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> Mein Verständnis zu Zufallsvariablen ist gerade etwas
> durcheinander. Hier mal was in meinem Skript steht:
> "Falls X und Y unabhängige reelle oder komplexe
> Zufallsgrössen sind, gilt sowohl
>
> E[X*Y] = E[X]*E[Y] (1)
>
> als auch
>
> [mm]E[X*\overline{Y}]= E[X]*\overline{E[Y]}[/mm] (2)
>
> Zwei reelle oder komplexe Zufallsgrössen sind
> unkorreliert, falls (2) gilt. Unabhängige Zufallsgrössen
> sind also immer unkorreliert.
> Für reelle fallen (1) und (2) offensichtlich zusammen.
> Für komplexe Zufallsgrössen sind (1) und (2) aber nicht
> äquivalent!
>
> Beispiel:
> Die komplexe Zufallsgrösse X nehme mit Wahrscheinlichkeit
> p = 1/4 je einen Wert aus {1,-1,i,-i} an. Offensichtlich
> gilt E[x] = 0. Mit Y = X Erhalten wir E[X*Y] = [mm]E[X^{2}][/mm] = 0
> aber [mm]E[X*\overline{Y}] =E[|X^{2}|][/mm] = 1. Somit gilt (1),
> aber nicht (2)."
>
> Was ich daran nicht verstehe ist, wenn man sagt Y = X muss
> das ja nicht heissen, dass X und Y voneinander abhängig
> sind.Es bedeutet nur dass sie die gleiche Verteilung
> haben.
Nein, nein, das heißt doch, dass Y immer denselben Wert wie X hat. Also hochgradig abhängig.
> Da aber (2) nicht gilt heisst dass, dass sie
> abhängig sind. Aber sie könnten doch auch nicht abhängig
> voneinander sein??
>
> Danke sehr!
>
> Grüsse
>
Zufallsvariable sind ja eigentlich nur (messbare, falls die der Begriff was sagt) Funktionen. Statt X und Y könntest du dir auch f und g vorstellen. Und wenn ich jetzt sage, zwei Funktionen sind gleich, also f=g, heißt das, f(x)=g(x) für alle Werte von x . Wenn ich also zB. weiß, welchen Wert f(7) hat (zB f(7)=i), kenne ich auch g(7) (nämlich dann auch i) und umgekehrt. Dann hängen die zwei also extrem voneinander ab.
Ich hoffe, es wurde etwas klarer.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 08.01.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke. Ich verstehe es leider doch noch nich. Wenn ich sage X=Y und X bedeutet P(x=1)=1/2 und P(x=-1) = 1/2 dann heisst das nâmlich nicht, dass wenn x =1, dass dann y ebenfalls 1 ist. Sondern nur dass y mit Wahrscheinlichkeit 1/2 auch 1 ist... nicht?
google mal den Bergriff "identical and distributed random variables"
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 08.01.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo,
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> Danke. Ich verstehe es leider doch noch nich. Wenn ich sage
> X=Y und X bedeutet P(x=1)=1/2 und P(x=-1) = 1/2 dann heisst
> das nâmlich nicht, dass wenn x =1, dass dann y ebenfalls 1
> ist. Sondern nur dass y mit Wahrscheinlichkeit 1/2 auch 1
> ist... nicht?
>
> google mal den Bergriff "identical and distributed random
> variables"
>
> Grüsse
X=Y heißt mehr, als dass sie nur dieselbe Verteilung haben. Kuck mal ![[]](/images/popup.gif) hier. Wenn X und Y die gleiche Verteilung haben (ich nehme dein Beispiel), heißt das nur P(X=1)=P(Y=1)=1/2. Du hast natürlich recht, wenn du sagst, dass das erstmal nicht heisst, das die dadurch auch immer dieselben Werte annehmen. Falls sie nämlich unabhängig sind, ist P(X=Y)=1/2. Die Aussage X=Y heißt aber mehr, nämlich P(X=Y)=1. ZB, wenn ich die Zufallsvariable Y so definiere:
[mm] Y=\begin{cases} 1, & \mbox{für } X=1 \\ -1, & \mbox{für } X=-1 \end{cases} [/mm]
Man schreibt halt kürzer X=Y.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 So 08.01.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Achso......
Schönes Restwochenende noch, danke,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 So 08.01.2012 | | Autor: | Walde |
Gern geschehen, gleichfalls.
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