Erwartungswert (Beweis) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hi nochmal,
ich versteh bei diesem Beweis einen Schritt nicht.
Vss.: X sei ZVe mit Werten in [mm] N_0 [/mm] und endlichem Erwartungswert.
Beh.: E[X] = [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] i).
Bew.: E[X] = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}k [/mm] P(X=k) = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \summe_{i=1}^{ k} [/mm] P(X=k) das ist klar, da hat man ja nur k als summe von 1en geschrieben, oder?
aber dann:
... = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \summe_{i=1}^{ \infty } [/mm] I(j [mm] \leq [/mm] k) P(X=k)
was ist dieses I? meint das die Indikatorfunktion? warum kann man das so umformen?
es geht weiter mit:
...= [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \summe_{k=1}^{ \infty } [/mm] I( j [mm] \leq [/mm] k) P(X=k) [mm] =\summe_{i=1}^{ \infty} \summe_{k=i}^{ \infty } [/mm] P(X=k) = [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] i).
wär super, wenn ihr mir diesen schritt erklären könntet.
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Fr 23.03.2007 | | Autor: | wauwau |
> Hi nochmal,
> ich versteh bei diesem Beweis einen Schritt nicht.
>
> Vss.: X sei ZVe mit Werten in [mm]N_0[/mm] und endlichem
> Erwartungswert.
>
> Beh.: [mm]E[X] = \summe_{i=1}^{ \infty} P(X \ge i) [/mm]
>
> Bew.: E[X] = [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}k P(X=k) = \summe_{k=1}^{ \infty} \summe_{i=1}^{ k} P(X=k) [/mm] das ist
> klar, da hat man ja nur k als summe von 1en geschrieben,
> oder?
> aber dann:
>
> ... = [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \summe_{j=1}^{ \infty } I(j\leq k) P(X=k)[/mm]
>
> was ist dieses I? meint das die Indikatorfunktion? warum
Ja ist die Indikatorfunktion
> kann man das so umformen?
> es geht weiter mit:
>
Nun wird die Summationsreihenfolge vertauscht
> ...= [mm]\summe_{j=1}^{ \infty} \summe_{k=1}^{ \infty } I(j \leq k) P(X=k) =\summe_{j=1}^{ \infty} \summe_{k=j}^{ \infty }P(X=k) = \summe_{j=1}^{ \infty} P(X \ge j) [/mm]
für k<j ist der Summand stets 0 daher braucht man erst ab k=j summieren
>
> wär super, wenn ihr mir diesen schritt erklären könntet.
>
> Viele Grüße
> Riley
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für deine erklärung.
jetzt hab ich doch noch ein paar fragen:
> > Beh.: [mm]E[X] = \summe_{i=1}^{ \infty} P(X \ge i)[/mm]
>> ... = [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \summe_{j=1}^{ \infty } I(j\leq k) P(X=k)[/mm]
Warum summiert man dann bis unendlich?
>> [mm] \summe_{j=1}^{ \infty} \summe_{k=j}^{ \infty }P(X=k) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{ \infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] j)
und warum muss hier dann X [mm] \ge [/mm] j stehen und nicht "=" ?
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Fr 23.03.2007 | | Autor: | sangam |
> Hallo,
> danke für deine erklärung.
> jetzt hab ich doch noch ein paar fragen:
>
> > > Beh.: [mm]E[X] = \summe_{i=1}^{ \infty} P(X \ge i)[/mm]
> >> ...
> = [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \summe_{j=1}^{ \infty } I(j\leq k) P(X=k)[/mm]
>
> Warum summiert man dann bis unendlich?
musst du machen, weil sonst die Indikatorfunktion irgendwann nur noch Null liefert und du dann k nicht mehr wirklich bis unendlich laufen lässt.
>
> >> [mm]\summe_{j=1}^{ \infty} \summe_{k=j}^{ \infty }P(X=k)[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{ \infty}[/mm] P(X [mm]\ge[/mm] j)
>
> und warum muss hier dann X [mm]\ge[/mm] j stehen und nicht "=" ?
>
setz einfach mal ein paar werte für j ein, also z.b. j =1
P(X=1) +P(X=2)+P(X=3)+... usw. also
[mm] P(X\ge [/mm] 1) weil das Ding diskret verteilt ist und die Wahrsch. für didjunkte Mengen sich einfach addieren...
analog für alle anderen j
>
> Viele Grüße
> Riley
>
>
gruss, sangam
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Riley |
okay, dankeschön für deine erklärung!
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