Erwartungswert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf dem Schulhof stehen sich zwei Gruppen à 30 Schüler gegenüber. Bei der einen Gruppe hat jeder einen Wasserluftballon, den er auf einen beliebigen Schüler der anderen Gruppe wirft. Jeder Ballon trifft sein Ziel, es findet allerdings keine Kommunikation zwischen den Werfern statt und alle werfen gleichzeitig.
Wie viele Schüler der anderen Gruppe werden vermutlich trocken bleiben? |
Hallo Leute,
da ich mir nicht sicher bin, wie ich überhaupt ansetzen soll, habe ich das Problem zunächst auf 2 Dreiergruppen reduziert.
O------> A
O------> B
O------> C
Das wäre eine Möglichkeit, wie die Sch. werfen könnten.
Nun Habe ich mir die Treffermöglichkeiten aufgeschrieben:
3 x A (1)
3 x B (1)
3 x C (1)
2xA & B (3)
2xA & C (3)
...
A & B & C (3)
insgesamt also 10 Ereignisse, die allerdings nicht gleich wahrscheinlich sind. Für 3xA gibt es nur eine Möglichkeit(=alle müssen auf A werfen). Das Gleiche gilt für 3xB und 3xC. Für die restlichen 7 Ereignisse gibt es je drei Möglichkeiten, wie sie eintreten könnten. Insgesamt also 24 gleichwahrscheinliche Ergebnisse.( P=1/24) Bei den ersten drei Möglichkeiten bleiben je 2 Sch. trocken, bei den andern je einer, nur bei der letzten bleibt keiner trocken.
Wenn ich nun den Erwartungswert berechne:
E=1/24(2+2+2+1*18+0*3)=0,75
bliebe also grad mal 1 Sch. trocken - wenn der Rechenweg ok ist, könnte ich mich an die 30iger Gruppen machen - oder gibt es eine Abkürzung?
Vielen Dank für eure Hilfe
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Ich würde an deiner Stelle darüber nachdenken, wie hoch die Warscheinlichkeit für einen Einzelnen ist, nicht getroffen zu werden. Ich hatte leider in der Schule nie Stochastik und im Studium bin ich auch noch nicht bei Stochastik, deswegen kann ich wenig fachlich argumentieren, aber ich versuche dir die Logik nahezulegen ;D
Da jeder der Werfer das Ziel willkürlich wählt, ist die warscheinlichkeit bei jedem wurf trocken zu bleiben 29/30. Da es insgesammt 30 Wurfe gibt, ist die Warscheinlichekit trocken zu bleiben (29/30)^30. Kommst du jetzt weiter?
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Danke für die Antwort.
29/30^30: das ist die Wahrscheinlichkeit für einen Einzelnen trocken zu bleiben - aber die Frage ist ja wie viele vermutlich trocken bleiben - da komm ich so nicht weiter.
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Hallo,
Zunächst: Dein Ansatz ist OK und funktioniert. Du hast noch zwei kleine Fehler: Die letzte Möglichkeit, dass A,B,C alle getroffen werden, kann durch insgesamt 6 Möglichkeiten statt nur 3 eintreten.
Die endgültige Formel für den Erwartungswert lautet:
1/27*(3*2 + 18*1 + 6*0) = 0.89
Allerdings wird diese Berechnung für größere Anzahlen aufwendig.
Hier ist eine Möglichkeit, wie es leichter geht:
Sei n die Anzahl der Schüler der einen Gruppe (die beworfen werden),
und m die Anzahl der Schüler die die Wasserballons werfen.
Es sei [mm] $X_i [/mm] = 1$, wenn der i-te Schüler nicht nassgeworden ist (i = 1,...,n), ansonsten sei [mm] $X_i [/mm] = 0$.
Gesucht ist der Erwartungswert von der Anzahl $A := [mm] X_1 [/mm] + ... [mm] X_n$ [/mm] der Schüler, die nicht nassgeworden sind. Der Erwartungswert ist linear:
$E[A] = [mm] E[X_1 [/mm] + ... + [mm] X_n] [/mm] = [mm] E[X_1] [/mm] + ... + [mm] E[X_n] [/mm] = [mm] n*E[X_1] [/mm] = n [mm] *P(X_1 [/mm] = 1)$
Es genügt also die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass [mm] $X_1 [/mm] = 1$ ist! Überlege dir, dass diese Wahrscheinlichkeit [mm] $\left(\frac{n-1}{n}\right)^{m}$ [/mm] beträgt.
Damit ist
$E[A] = n [mm] \cdot \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m}$
[/mm]
der gesuchte Erwartungswert.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mi 03.07.2013 | | Autor: | xxgenisxx |
Stefan hat das ja schon fachlick korrekt gemacht, danke. Ich hätte vllt auchnoch auf deine Lösungsweg eingehen sollen sorry ;D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Mi 03.07.2013 | | Autor: | PowerBauer |
danke - jetzt stimmt mein Ergebnis auch mit dem sehr viel einfacheren Weg überein! (Mit meinem Ansatz wäre ich bei 30 Sch. wohl verzweifelt.)
LG
PB
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