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Hallo,
ich frage mich gerade, warum
[mm]E(1_{\{|X|\geq{a}\}})=P(|X|\geq{a})[/mm].
Vielleicht kann das Rätsel jemand auflösen... ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
[mm]1_{\{|X|\geq{a}\}}[/mm] ist charakteristische Funktion.
Vielen Dank.
Twm
Ich habe die Frage nirgends sonst gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mo 17.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich frage mich gerade, warum
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> [mm]E(1_{\{|X|\geq{a}\}})=P(|X|\geq{a})[/mm].
>
> Vielleicht kann das Rätsel jemand auflösen...
>
> [mm]1_{\{|X|\geq{a}\}}[/mm] ist charakteristische Funktion.
Allgemein gilt fuer jede messbare Menge $A$, dass [mm] $E(1_A) [/mm] = P(A)$ ist. Mit $A = [mm] \{ \omega \mid |X(\omega)| \geq a \}$ [/mm] folgt daraus dein Statement.
Der Erwartungswert von einer Zufallsvariablen $Y$ ist ja definiert als [mm] $\int [/mm] Y [mm] \; d\omega$, [/mm] und die Wahrscheinlichkeit einer Menge $A$ als [mm] $\int_A [/mm] 1 [mm] \; d\omega$. [/mm] Mit $Y = [mm] 1_A$ [/mm] ist jetzt [mm] $\int 1_A \; d\omega [/mm] = [mm] \int_A [/mm] 1 [mm] \; d\omega [/mm] + [mm] \int_{\Omega \setminus A} [/mm] 0 [mm] \; d\omega [/mm] = [mm] \int_A [/mm] 1 [mm] \; d\omega [/mm] = P(A)$.
LG Felix
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Hallo felixf,
vielen Dank für deine Antwort.
Mit den Integralschreibweisen habe ich noch meine Probleme. Wenn da jemand ein gutes Skript kennt, dass das ganz gut beschreibt, würde ich mich über einen Link freuen.
Danke.
Schöne Grüße,
Twm
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Hallo,
> Moin!
>
> > ich frage mich gerade, warum
> >
> > [mm]E(1_{\{|X|\geq{a}\}})=P(|X|\geq{a})[/mm].
> >
> > Vielleicht kann das Rätsel jemand auflösen...
> >
> > [mm]1_{\{|X|\geq{a}\}}[/mm] ist charakteristische Funktion.
>
> Allgemein gilt fuer jede messbare Menge [mm]A[/mm], dass [mm]E(1_A) = P(A)[/mm]
> ist.
könntest du (oder gerne auch ein anderer) mir das mal zeigen? Wie zeigt man das allgemein? Ich weiß, vorrechnen ist hier eigentlich nicht, man soll zumindest eigene Gedanken aufschreiben. Das kann ich aber leider nicht, weil ich mit dieser Integralschreibweise einfach nicht klar komme.
> Mit [mm]A = \{ \omega \mid |X(\omega)| \geq a \}[/mm] folgt
> daraus dein Statement.
>
> Der Erwartungswert von einer Zufallsvariablen [mm]Y[/mm] ist ja
> definiert als [mm]\int Y \; d\omega[/mm], und die Wahrscheinlichkeit
> einer Menge [mm]A[/mm] als [mm]\int_A 1 \; d\omega[/mm]. Mit [mm]Y = 1_A[/mm]
[mm]Y=1_A[/mm] heißt dann: Y=1, falls [mm]\omega\in{A}[/mm] bzw. Y=0, falls [mm]\omega\notin{A}[/mm]?
> ist
> jetzt [mm]\int 1_A \; d\omega = \int_A 1 \; d\omega + \int_{\Omega \setminus A} 0 \; d\omega = \int_A 1 \; d\omega = P(A)[/mm].
Wir hatten z.B. definiert: [mm]\int_A \; f \; d\omega:=\int 1_A \; f \; d\omega[/mm]
wobei f dann nicht-negative messbare Funktion. In diesem Fall entspricht f, dann einfach der Zufallsvariable?
> LG Felix
>
Jetzt ist [mm]E(X):=\int_\Omega \; X \; dP[/mm] Erwartungswert von X.
Dann ist [mm]E(1_A):=\int_\Omega \; 1_A \; dP:=\int_A \; 1 \; dP=P(A)[/mm]
Ahhhh ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") Jetzt habe ich doch einen Ansatz. Es hilft doch, wenn man versucht, seine Probleme nur zu erläutern. Die :=-Zeichen sind Absicht, weil es doch eigentlich nur Definitione sind, die eingesetzt wurden!?
Stimmt das so? Insbesondere auch der letzte Schritt? Beim Durchlesen frage ich mich jetzt, warum stimmt die letzte Gleichung (wenn sie stimmt)?
Jetzt komme ich aber wieder nicht zurecht:
Wenn man die Markov-Ungleichung zeigen will: [mm]P(|X|\ge{a})\le{\bruch{E(|x|^p)}{a^p}} \; \forall \; a>0[/mm]
Tipp war: [mm]E(|X|^p)\ge{}...=a^p*P(|X|\ge{a})[/mm]
Es soll die Integralschreibweise benutzt werden, um das zu lernen. Es geht wohl auch ohne...
Jetzt hoffe ich auf Antworten ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Steckt ja schon viel Mühe in der Frage
Viele Grüße
Twm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Stimmt das so? Insbesondere auch der letzte Schritt? Beim Durchlesen frage ich mich jetzt, warum stimmt die letzte Gleichung (wenn sie stimmt)?
1. Nach Definition des Lebesgue-Integrals gilt
[mm] $\int 1_A\ [/mm] dP := [mm] \int 1_A(\omega)\ P(d\omega) [/mm] := P(A)$
Das ist mehr oder weniger das erste, was man definiert. Und es erfolgt analog zur gewöhnlichen Rechtecksfläche: [mm] $\int 1_{[0,1]}(x)\ [/mm] dx = 1$
Wir erlauben eine größere Klasse von Mengen A und gewichten zusätzlich mit dem Maß P (beim "normalen" Integral ist ja dx auch nix anderes als [mm] $\lambda(dx)$, [/mm] wir ersetzen also nur das Lebesgue Maß und nehmen stattdessen [mm] $P(d\omega)$
[/mm]
2. Wird jetzt für beliebige (positive, was ist im allgemeinen Fall?) Funktionen die Funktion durch abzählbare Summen von obigen Indikatorfunktionen angenähert,
[mm] $X=\sum_n 1_{A_n};$
[/mm]
und der EW ist definiert als das Integral über die Funktion X
$E(X) := [mm] \int [/mm] X\ dP = [mm] \int \sum_n 1_{A_n}\ [/mm] dP = [mm] \sum_n \int 1_{A_n}\ [/mm] dP$
(btw. Du solltest Dir wirklich eine saubere Definition ansehen. Insbesondere welche P und welche X zulässig sind. Das hier ist alles sehr salopp und handwaving)
3. Wenn wir jetzt $X:= [mm] 1_A$ [/mm] wählen, dann folgt aus obigen Definitionen
[mm] $E(1_A)=P(A)$
[/mm]
Das ist also keine Definition, sondern eine Folgerung aus der allgemeineren Definition von E(X).
4.
> $ [mm] E(|X|^p)\ge{}...=a^p\cdot{}P(|X|\ge{a}) [/mm] $
[mm] $E(|X|^p)=\int 1_{\{|X|
ciao
Stefan
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Hallo,
vielen Dank.
Also, nur noch eine kurze Nachfrage:
> 4.
> > [mm]E(|X|^p)\ge{}...=a^p\cdot{}P(|X|\ge{a})[/mm]
>
> [mm]E(|X|^p)=\int 1_{\{|X|
ich will mal Zwischenschritte einfügen, um zu sehen, ob ich es verstanden habe:
[mm]E(|X|^p)=\int 1_{\{|X|
[mm]\ge{ \int 1_{\{|X|\geq a\}}\, |X|^p\ dP}[/mm]
[mm]\ge{ \int 1_{\{|X|\geq a\}}\, |a|^p\ dP}[/mm]
[mm]={ |a|^p\int 1_{\{|X|\geq a\}}\, \ dP}[/mm]
[mm]=|a|^p*P({|X|\geq a})[/mm]
so korrekt?
> ciao
> Stefan
Danke.
Gruß
Twm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:08 Do 20.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also, nur noch eine kurze Nachfrage:
>
> > 4.
> > > [mm]E(|X|^p)\ge{}...=a^p\cdot{}P(|X|\ge{a})[/mm]
> >
> > [mm]E(|X|^p)=\int 1_{\{|X|
>
> ich will mal Zwischenschritte einfügen, um zu sehen, ob
> ich es verstanden habe:
>
> [mm]E(|X|^p)=\int 1_{\{|X|
> okay
>
> [mm]\ge{ \int 1_{\{|X|\geq a\}}\, |X|^p\ dP}[/mm]
>
> [mm]\ge{ \int 1_{\{|X|\geq a\}}\, |a|^p\ dP}[/mm]
>
> [mm]={ |a|^p\int 1_{\{|X|\geq a\}}\, \ dP}[/mm]
>
> [mm]=|a|^p*P({|X|\geq a})[/mm]
>
> so korrekt?
Ja.
LG Felix
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