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Hallo!
Habe noch ein Problem mit einer Aufgabe:
X sei eine Zufallsvariable auf einem diskreten W-Raum [mm] (\Omega,\cal{A},\cal{P}) [/mm] mit Werten in [mm] \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] EX=\summe_{n=1}^{\infty}P({\omega:X(\omega)\ge n})
[/mm]
gilt!
Die Definition des Erwartungswertes ist ja
[mm] EX=\summe_{\omega\in\Omega}^{}X(\omega)P({ \omega }) [/mm] .
Nun weiß ich aber nicht, was ich da einsetzen soll... Kann mir jemand einen Tipp geben?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Für alle $N \in \IN$ gilt ja:
$\sum\limits_{n=1}^N n \cdot P(X=n)$
$= \sum\limits_{n=1}^N n \cdot \left( P(X \ge n) - P(X \ge n+1) \right)$
$= \ldots$
$= \sum\limits_{n=1}^N P(X \ge n) - N \cdot P(X \ge N+1)$.
(Versuche bitte die Lücken selber zu füllen... )
Nun gilt aber:
$0 \le NP(X \ge N+1) \le (N+1)P(X \ge N+1) \le \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} n \cdot P(X=n)$.
Wegen $E[X] = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n \cdot P(X=n) < \infty}$ gilt:
$\lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n=N+1}^{\infty} n \cdot P(X=n) = 0$,
woraus
$\lim\limits_{N \to \infty} N P (X \ge N + 1)=0$
und daraus dann (wenn man in der obigen Gleichheit den Grenzübergang vollzieht) die Behauptung folgt.
Viele Grüße
Julius
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Vielen Dank schonmal!
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Ich bin's nochmal! Ich rätsele jetzt schon die ganze Zeit rum, wie du die Gleichung umgeformt hast, aber irgendwie komme ich nicht drauf.
Ich sehe kein Anzeichen von Indexverschiebung o.ä. Ich weiß schon gar nicht, wie ich das n wegbekommen soll... Kannst du mir vielleicht noch 'nen Tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Doch, es ist eine simple Indexverschiebung:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^N [/mm] n [mm] \cdot \left( P(X \ge n) - P(X \ge n+1) \right)$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^N [/mm] n [mm] P(X\ge [/mm] n) - [mm] \sum\limits_{n=1}^N [/mm] n P(X [mm] \ge [/mm] n+1)$
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^N [/mm] n P(X [mm] \ge [/mm] n) - [mm] \sum\limits_{n=2}^{N+1} [/mm] (n-1) P [mm] (X\ge [/mm] n)$
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^N [/mm] nP(X [mm] \ge [/mm] n) - [mm] \sum\limits_{n=1}^N [/mm] (n-1) [mm] P(X\ge [/mm] n) - NP(X [mm] \ge [/mm] N+1)$
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^N [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] n) - NP(X [mm] \ge [/mm] N+1)$.
Viele Grüße
Julius
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Da wäre ich niemals alleine drauf gekommen!
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