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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | v sei die Standardnormalverteilung auf [mm] (\IR,\IB) [/mm] und [mm] v^T [/mm] das Bildmaß von v unter der Abbildung: [mm] T:\IR\to[0,\infty), x\mapsto [/mm] x²
Y sei eine Zufallsvariable mit der Verteilung [mm] v^T. [/mm] Berechnen Sie E(aY+b) für [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
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Hallo zusammen !
Ich habe die obige Aufgabe durchgerechnet, bin mir allerdings nicht sicher, ob das alles so korrekt aufgeschrieben ist. Wäre toll, wenn sich jemand das mal anschauen könnte. Danke : ) !
Meine Lösung:
E(aY+b)=a*E(Y)+b
Mit den Transformationssatz folgt (T ist messbar, da stetig, die Integrierbarkeit von Y bzgl. [mm] v^T [/mm] steckt im Beweis, richtig ?)
[mm] EY=\integral_{[0,\infty)}^{}Y dv^T=\integral_{\IR} (Y\circ(T))dv
[/mm]
[mm] =\integral_{\IR}Y(x^2) v(dx)=\integral_{\IR}Y^2 dv=EX^2, [/mm] wobei X standardnormalverteilte Zufallsgröße sei.
[mm] EX^2=Var(X)=1
[/mm]
E(aY+b)=a+b
LG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mi 15.07.2009 | | Autor: | vivo |
> v sei die Standardnormalverteilung auf [mm](\IR,\IB)[/mm] und [mm]v^T[/mm]
> das Bildmaß von v unter der Abbildung: [mm]T:\IR\to[0,\infty), x\mapsto[/mm]
> x²
> Y sei eine Zufallsvariable mit der Verteilung [mm]v^T.[/mm]
> Berechnen Sie E(aY+b) für [mm]a,b\in\IR.[/mm]
>
> Hallo zusammen !
>
> Ich habe die obige Aufgabe durchgerechnet, bin mir
> allerdings nicht sicher, ob das alles so korrekt
> aufgeschrieben ist. Wäre toll, wenn sich jemand das mal
> anschauen könnte. Danke : ) !
Hallo,
richtig ist es! Du könntest vielleicht noch dazuschreiben dass Y dann die Identität ist. Und wenn man ganz pingelig sein will vielleicht noch dass
[mm] \integral_{\IR}Y^2 dv=EX^2,[/mm] [/mm]
> wobei X standardnormalverteilte Zufallsgröße sei.
diese gleichheit gilt, da es egal ist ob man nach einem Maß oder nach der zu dem Maß gehörenden Radon Nikodym Dichte Integriert.
>
> Meine Lösung:
> E(aY+b)=a*E(Y)+b
>
> Mit den Transformationssatz folgt (T ist messbar, da
> stetig, die Integrierbarkeit von Y bzgl. [mm]v^T[/mm] steckt im
> Beweis, richtig ?)
>
> [mm]EY=\integral_{[0,\infty)}^{}Y dv^T=\integral_{\IR} (Y\circ(T))dv[/mm]
>
> [mm]=\integral_{\IR}Y(x^2) v(dx)=\integral_{\IR}Y^2 dv=EX^2,[/mm]
> wobei X standardnormalverteilte Zufallsgröße sei.
> [mm]EX^2=Var(X)=1[/mm]
>
> E(aY+b)=a+b
>
> LG
> Christian
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo vivo !
Danke für deine Antwort.
Könntest du vielleicht mir deine Anmerkungen noch mal etwas genauer erklären (mit Formeln)? Wäre super, danke !
VG
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Mi 15.07.2009 | | Autor: | vivo |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
$ \integral_{\IR}Y^2 d\nu=EX^2, $ wobei X standard normalverteilte ZV
jetzt ist ja laut Aufgabenstellung:
$\nu (A) = \int_{A} \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}}}exp(\bruch{-(x)^2}{2}) dx$
da $\nu$ ja die Standardnormalverteilung sein soll.
Dass heißt also:
$f(x)= \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}}}exp(\bruch{-(x)^2}{2})$ ist die Radon Nikodym Dichte zum Lebesgue Maß von $\nu$. In Zeichen:
$f= \bruch{d\nu}{d\lambda}$
Es ist so dass gilt:
$\int Y d \nu = \int Y \bruch{d\nu}{d\lambda} d\lambda$ In Worten:
es ist egal ob du nach dem Maß $\nu$ integrierst oder ob du die zu integrierende Funktion (in diesem Fall Y) mit der Radon Nikodym Dichte multiplizierst und dann nach (in diesem Fall) dem Lebesgue Maß integrierst. Für diese Aufgabe heißt dass:
$\integral_{\IR}Y^2 d\nu=\int_{\IR}y^2 \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}}}exp(\bruch{-(y)^2}{2}) dy$ und dies ist halt E(Y^2) von einer Standardnormalverteilten ZV.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hey,
super, danke schön,
hab alles verstanden, hab den Satz auch gerade nochmal in der Vorlesung gefunden und durchgearbeitet.
Könntest du auchl kurz noch etwas zu der Sache mit der "Identität" sagen?
Grüße
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Mi 15.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
naja du schreibst:
$ [mm] EY=\integral_{[0,\infty)}^{}Y d\nu^T$ [/mm]
Y ist ja eine ZV also eine Abbildung, du integrierst ja jetzt nach dem Maß nach dem die ZV verteilt ist. Also muss Y die Identität sein, damit:
$Y(y)=y$ denn dann ist:
$ [mm] EY=\integral_{[0,\infty)}^{}Y d\nu^T [/mm] = [mm] \integral_{[0,\infty)} [/mm] y [mm] \nu^T [/mm] (dy) = [mm] \integral_{\IR} (Y\circ(T))d\nu =\integral_{\IR}Y(x^2) d\nu =\integral_{\IR}x^2 d\nu$
[/mm]
aber so hattest du dass schon gemeint!
gruß
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