Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:39 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | | Sind X und Y quadratintegrierbare Zufallsvariablen mit E[X|Y]=Y und E[Y|X]=X, dann ist X=Y fast sicher. |
Kann mir jemand einen Tipp geben, ich weiß nicht wie ich anfangen muss!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mi 19.11.2008 | | Autor: | arne83 |
Was ist denn die Definition von E[X|Y] und E[Y|X] ?
Wenn du zeigen sollst, dass wenn E[X|Y] = Y und E[Y|X]=X dass dann X=Y fast sicher gilt, musst du diese Ausdrücke über ein Integral betrachten.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Danke schonmal.
Ich glaube E[X|Y]= [mm] E[X|\sigma [/mm] (Y)]
Aber ich weiß nicht ob das stimmt und wie ich das nun als Integral schreibe.
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Hallo,
nicht ganz, wenn dann E[X|Y]= [mm] E[X|\sigma (Y^{-1}(A'))]. [/mm] Warum? Eigentlich schreibt man [mm] E[X|\mathcal{G}], [/mm] wobei [mm] \mathcal{G} [/mm] eine [mm] Unter-\sigma-Algebra [/mm] von [mm] \mathcal{A} [/mm] ist. Wie bei der anderen Frage handelt es sich hier um den allgemeinen bedingten Erwartungswert unter der Bedingung [mm] \mathcal{G}. [/mm] Du kannst diesen auch für die ZV Y definieren, die im Urbildraum eine [mm] \sigma-Algebra \mathcal{G} [/mm] erzeugt, deshalb [mm] E[X|\sigma(Y^{-1}(A')).
[/mm]
Nun zum Integral. Für den allgemeinen bedingten Erwartungswert gilt (und das ist wichtig, bei ihm handelt es sich nämlich nicht um eine bedingte Wahrscheinlichkeit oder eine Zahl), dass er eine numeriche Funktion ist, deren Integral auf der [mm] Unter-\sigma-Algebra \mathcal{G} [/mm] mit dem Integral von X übereinstimmt. Also:
[mm] \integral_{G}^{}{E(X|Y) d\mu} [/mm] = [mm] \integral_{G}^{}{X d\mu} [/mm] für alle G [mm] \in \mathcal{G}.
[/mm]
Zu deiner Aufgabe: Ist die Aufgabenstellung vielleicht so, dass wenn E(X|Y) = X und E(X|Y) = Y , dann X = Y f.ü.? Würde nämlich mehr Sinn machen bei den gegebenen Infos. Der Beweis ist mit der Definition trivial, denn [mm] \integral_{G}^{}{X d\mu} [/mm] = [mm] \integral_{G}^{}{E(X|Y) d\mu} [/mm]
= [mm] \integral_{G}^{}{Y d\mu}
[/mm]
Du musst nur noch eine Satz aus der Maßtheorie bringen, der sagt, dass die Integrale zweier f.ü. identischer Funktionen ebenfalls f.ü. gleich sind.
Ich hoffe das hilft,
Steffen
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