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| Aufgabe | Es ist gegeben: u.i.v Daten (Zufallsvariablen) [mm] x_{1},...,X_{N} [/mm] mit einer Dichte
p(x; [mm] \lambda)=\begin{cases} \bruch{2x}{\lambda^{2}} e^{-(\bruch{x}{\lambda})^{2} }, & \mbox{falls } x \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{sonst. } \end{cases}
[/mm]
Dabei sei [mm] \lambda [/mm] > 0 unbekannt.
Berechnen Sie den Erwartungswert [mm] EX_{1} [/mm] |
Hallo zusammen,
leider bekomme ich bei dem Erwartungswert unendlich raus...kann aber nicht wirklich sein.
Kann mir einer den Erwartungswert sagen?
Wie es funktionieren sollte ist mir schon klar: [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x p(x; \lambda) dx}
[/mm]
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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rein numerisch erhalte ich das Ergebnis [mm] \approx 0.8862269*\lambda
[/mm]
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hmm, dann weiß ich auch nicht weiter.
Ich habe mal meine Schritte als Datei angehängt. Vielleicht kann da einer mal drüberschauen...Hab ich vielleicht eine Stammfunktion falsch gemacht?
Danke nochmal!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> hmm, dann weiß ich auch nicht weiter.
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> Ich habe mal meine Schritte als Datei angehängt. Vielleicht
> kann da einer mal drüberschauen...Hab ich vielleicht eine
> Stammfunktion falsch gemacht?
Du hast schon Deinen Faktor $v(x)$ falsch angesetzt, denn wenn Dein erster Faktor [mm] $u(x)=x^2$ [/mm] sein soll, dann ist Dein zweiter Faktor [mm] $v(x)=e^{-\frac{x^2}{\theta^2}}$.
[/mm]
Leider lässt sich dieser Integrand, [mm] $x^2\cdot e^{-\frac{x^2}{\theta^2}}$, [/mm] nicht elementar integrieren.
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> Es ist gegeben: u.i.v Daten (Zufallsvariablen)
> [mm]x_{1},...,X_{N}[/mm] mit einer Dichte
> p(x; [mm]\lambda)=\begin{cases} \bruch{2x}{\lambda^{2}} e^{-(\bruch{x}{\lambda})^{2} }, & \mbox{falls } x \mbox{ >0} \\ 0, & \mbox{sonst. } \end{cases}[/mm]
>
> Dabei sei [mm]\lambda[/mm] > 0 unbekannt.
> Berechnen Sie den Erwartungswert [mm]EX_{1}[/mm]
> Hallo zusammen,
> leider bekomme ich bei dem Erwartungswert unendlich
> raus...kann aber nicht wirklich sein.
> Kann mir einer den Erwartungswert sagen?
Ja, der ist [mm] $\frac{\sqrt{\pi}\lambda}{2}$.
[/mm]
> Wie es funktionieren sollte ist mir schon klar:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x p(x; \lambda) dx}[/mm]
Dieses Integral kannst Du auf die ![[]](/images/popup.gif) Gammafunktion zurückführen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Di 15.07.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin GrandHill,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Machen wir doch gleich Naegel mit Koepfen und berechnen
[mm] $\operatorname{E}[X^n]$. [/mm] Mit [mm] $u=(x/\lambda)^2$, $x=\lambda u^{1/2}$, $dx=\lambda du/(2u^{1/2})$ [/mm] erhaelt man:
[mm] \begin{matrix}
\operatorname{E}[X^n]
&=&\frac{2}{\lambda^2}\int_0^\infty x^{n+1}e^{-(x\lambda)^2}\,dx \\
&=&\frac{2}{\lambda^2}\int_0^\infty\lambda^{n+1} u^{n/2+1/2}e^{-u}\,\frac{\lambda du}{2u^{1/2}} \\
&=&\lambda^n\int_0^\infty u^{(n/2+1)-1}e^{-u}\, du \\
&=& \lambda^n\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)
\end{matrix}
[/mm]
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:50 Mi 16.07.2008 | | Autor: | GrandHill |
An alle ein herzliches Dankeschön!!!
Das ist echt super!!
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