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Forum "Uni-Stochastik" - Erwartungswert
Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erwartungswert: Ansatz ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Mo 03.01.2005
Autor: Phlipper

Berechnen Sie  [mm] EX^{n} [/mm] (Erwartungswert) für n [mm] \in [/mm] N und eine N(0; 1)-verteilte zufällige Größe X.
Keine Ahnung, wie ich da rangehen soll. Würde mich über einen Tipp freuen !

        
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Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Mo 03.01.2005
Autor: Brigitte

Hallo Phlipper!

> Berechnen Sie  [mm]EX^{n}[/mm] (Erwartungswert) für n [mm]\in[/mm] N und eine
> N(0; 1)-verteilte zufällige Größe X.
>  Keine Ahnung, wie ich da rangehen soll. Würde mich über
> einen Tipp freuen !

Ich habe Dich doch schon mal darauf hingewiesen, dass Du mal ein paar Ansätze dazu aufschreiben solltest. Du bist Mathematik-Student. Da wird Dir doch hoffentlich einfallen, wie man so einen Erwartungswert ausrechnet. Zumindest für $n=1$ und $n=2$ solltest Du keine Probleme haben (auch ohne Rechnen). Für allgemeines $n$ solltest Du mit partieller Integration auf eine rekursive Formel kommen, aus der sich der Rest ergibt.

Gruß
Brigitte
  

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Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 03.01.2005
Autor: Phlipper

also die Formel für die Standartnormalverteilung ist f(x) = 1/ [mm] \wurzel{2pi}* e^{- x^{2}/2}. [/mm]
Ich weiß nicht,wie ich  [mm] EX^{n} [/mm] interpretieren soll,ich war auch nicht da. Also für n=1 dürfte sich an der Formel nichts ändern.  

E(X) =  [mm] \integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] {x*f(x) dx} ist doch die Formel für Erwartungswert. Bitte noch eine kleine Hilfe,ich muss den Kram übermorgen abgeben und ich bin erkältet,bin deshalb nicht an der Uni.

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Bezug
Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Mo 03.01.2005
Autor: Brigitte

Hallo nochmal!

> also die Formel für die Standartnormalverteilung ist f(x) =
> 1/ [mm]\wurzel{2pi}* e^{- x^{2}/2}. [/mm]
>  Ich weiß nicht,wie ich  
> [mm]EX^{n}[/mm] interpretieren soll,ich war auch nicht da. Also für
> n=1 dürfte sich an der Formel nichts ändern.  
>
> E(X) =  [mm]\integral_{- \infty}^{ \infty}[/mm] {x*f(x) dx} ist doch

[ok]

> die Formel für Erwartungswert. Bitte noch eine kleine
> Hilfe,ich muss den Kram übermorgen abgeben und ich bin
> erkältet,bin deshalb nicht an der Uni.

Und die Formel für den Erwartungswert von [mm] $X^n$ [/mm] ist entsprechend

[mm][mm] E(X^n) [/mm] =  [mm]\integral_{- \infty}^{ \infty} x^n \cdot f(x) dx [/mm]

Existiert $E(h(X))$, gilt allgemein für stetige Funktionen $h$

[mm]E(h(X)) =  [mm]\integral_{- \infty}^{ \infty} h(x) \cdot f(x) dx [/mm]

Nun solltest Du durchstarten können.

Gruß
Brigitte

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Erwartungswert: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Do 06.01.2005
Autor: Phlipper

Danke Brigitte für die Starthilfe.
Also ich habe jetzt herausbekommen, dass  [mm] EX^{n} [/mm] für alle n ungerade gleich Null ist.
Für gerade n erhalte ich: (i ungerade)
[mm] \summe_{i=1}^{n} -t^{n-i} e^{ t^{2}/2} [/mm]
Reicht das als Lösung ? Oder habe ich etwas vergessen, wäre dankbar, wenn du mir nochmal ein kurzes Feedback gibst.

Bezug
                
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Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Fr 07.01.2005
Autor: Brigitte

Hallo Phlipper!

> Danke Brigitte für die Starthilfe.
>  Also ich habe jetzt herausbekommen, dass  [mm]EX^{n}[/mm] für alle
> n ungerade gleich Null ist.

[ok]

>  Für gerade n erhalte ich: (i ungerade)
>   [mm]\summe_{i=1}^{n} -t^{n-i} e^{ t^{2}/2}[/mm]

Das ist komisch, dass hier noch $t$ auftaucht. Meinst Du nicht?

>  Reicht das als
> Lösung ? Oder habe ich etwas vergessen, wäre dankbar, wenn
> du mir nochmal ein kurzes Feedback gibst.

Also mit partieller Integration erhält man doch:

[mm]E(X^n)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} x^ne^{-x^2/2}\,dx= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} x^{n-1}\cdot x e^{-x^2/2}\,dx[/mm]

[mm]=\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} x^{n-1}\cdot (-e^{-x^2/2})\right]_{-\infty}^{\infty} -\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (n-1)x^{n-2}\cdot (- e^{-x^2/2})\,dx[/mm]

[mm]=0+(n-1)E(X^{n-2}).[/mm]

Kannst Du nun angeben, was das für gerades $n$ bedeutet?

Viele Grüße
Brigitte
  

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