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| Aufgabe | | Berechnen Sie für eine standardnormalverteilte sG X den Erwartungswert von Y = |X|. |
Hallo!
Also der Erwartungswert ist ja normalerweise
E(x) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}
[/mm]
nur wie schaut die Dichtefunktion aus? und wie bring ich da noch die Bedingung y = |X| mit hinein?
Lg devil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 So 02.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du hast zwei Moeglichkeiten: Die von dir aufgefuehrte Formel verwendest
du, wenn $f$ die Dichte von $|X|$ ist. Bezeichnet [mm] $\varphi$ [/mm] die Dichte
der Standardnormalverteilung, so kannst du den Erwartunswert auch nach
[mm] $\operatorname{E}[|X|]=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|\varphi(x)\,dx$
[/mm]
berechnen.
lg Luis
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könntest du mir evtl noch schnell sagen, wie die Dichte aussieht?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 So 02.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> könntest du mir evtl noch schnell sagen, wie die Dichte
> aussieht?
>
Ich vermute, du meinst $f$ (und nicht [mm] $\varphi$).
[/mm]
Die bekommst du relativ einfach, wenn du erst die Verteilungsfunktion $F$
von $|X|$ bestimmst und diese ableitest. Zunaechst ist $F(x)=0$ fuer
[mm] $x\le [/mm] 0$. Sei $x>0$:
[mm] $F(x)=P(|X|\le x)=P(-x\le X\le x)=\Phi(x)-\Phi(-x)=2\Phi(x)-1$,
[/mm]
woraus folgt [mm] $f(x)=2\varphi(x)$ [/mm] fuer $x>0$ und $f(x)=0$ fuer [mm] $x\le [/mm] 0$ folgt.
lg Luis
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> Ich vermute, du meinst [mm]f[/mm] (und nicht [mm]\varphi[/mm]).
>
> Die bekommst du relativ einfach, wenn du erst die
> Verteilungsfunktion [mm]F[/mm]
> von [mm]|X|[/mm] bestimmst und diese ableitest. Zunaechst ist
> [mm]F(x)=0[/mm] fuer
> [mm]x\le 0[/mm]. Sei [mm]x>0[/mm]:
Wieso ist egentlich F(x)=0 für x < 0 ?
> woraus folgt [mm]f(x)=2\varphi(x)[/mm] fuer [mm]x>0[/mm]
wie sieht die Funktion [mm] \varphi [/mm] aus? bzw. muss ich nun einfach nur noch
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{2x*\varphi(x) dx} [/mm] rechnen für den Erwartungswert?
Vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 02.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> > Ich vermute, du meinst [mm]f[/mm] (und nicht [mm]\varphi[/mm]).
> >
> > Die bekommst du relativ einfach, wenn du erst die
> > Verteilungsfunktion [mm]F[/mm]
> > von [mm]|X|[/mm] bestimmst und diese ableitest. Zunaechst ist
> > [mm]F(x)=0[/mm] fuer
> > [mm]x\le 0[/mm]. Sei [mm]x>0[/mm]:
>
>
> Wieso ist egentlich F(x)=0 für x < 0 ?
Weil [mm] $P(|X|\le [/mm] x)=0$ fuer [mm] $x\le [/mm] 0$.
>
>
> > woraus folgt [mm]f(x)=2\varphi(x)[/mm] fuer [mm]x>0[/mm]
>
>
> wie sieht die Funktion [mm]\varphi[/mm] aus? bzw. muss ich nun
> einfach nur noch
Siehe ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Statistik:_Normalverteilung
Sie wird dort mit [mm] $\varphi_z$ [/mm] bezeichnet
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{2x*\varphi(x) dx}[/mm] rechnen für
> den Erwartungswert?
Nicht ganz:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{2x*\varphi(x) dx}[/mm]
lg Luis
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