Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei X eine hypergeometrische verteilte Zufallsvariable zu den Paramtern N [mm] \in [/mm] N, [mm] \in \{1,...,N\} [/mm] und r [mm] \in \{0,...,N\}. [/mm]
Beweise: Für den Erwartungswert gilt E[X] = [mm] \frac{r n}{N} [/mm] |
Hallo,
hab schon angefangen, das nachrzurechnen, aber jetzt weiß ich nicht wie ich das weiter umformen soll, kann mir jemand helfen ??
E[X] = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k P(X=k) = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k [mm] \frac{ \binom{r}{k} \binom{N-r}{n-k} }{ \binom{N}{n} } [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \frac{ k r! (N-r)! n! (N-n)!}{k! (r-k)! (n-k)! (N-r-n+k)! N!} [/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \frac{ r (r-1)! (N-r)! n (n-1)! (N-n)!}{(k-1)! (r-k)! (n-k)! (N-r-n+k)! N (N-1)!}
[/mm]
stimmt das soweit?
gibt es dabei einen trick wie man das am schlausten umformt? hab da jetzt schon weiter rumgerechnet und versucht zu kürzen, aber da komm ich nicht zu dem ergebnis....
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Fr 23.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Also du gehst folgendermaßen an das Problem ran:
[mm] (1+x)^{r}*(1+x)^{N-r}= (1+x)^{N}
[/mm]
Beide Seiten abgeleitet ergibt:
[mm]((1+x)^{r})'*(1+x)^{N-r} + (1+x)^{r}*(N-r)*(1+x)^{N-r-1} = N*(1+x)^{N-1}[/mm]
umgeformt
[mm] ((1+x)^{r})'*(1+x)^{N-r} [/mm] = [mm] r*(1+x)^{N-1}
[/mm]
Die beiden Seite attackierst du nun mit dem Binomischen Lehrsatz
[mm]\summe_{k=0}^{N}\vektor{r \\ k}*k*x^{k-1}*\summe_{k=0}^{N}\vektor{N-r \\ k}*x^{k} = r*\summe_{k=0}^{N-1}\vektor{N-1\\ k}*x^{k}
[/mm]
jetzt vergleichst du auf beiden Seiten den Koeffizienten von [mm] x^{n-1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{r \\ k}*k*\vektor{N-r \\ n-k} [/mm] = [mm] r*\vektor{N-1 \\ n-1}
[/mm]
Jetzt brauchst du nur beide Seiten durch [mm] \vektor{N \\ n} [/mm] dividieren und kürzen und du hast den gewünschten Erwartungswert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für deine Hilfe. das ist ja ganz schön kompliziert. ich versteh nicht ganz, wie du auf diesen Ansatz kommst mit dem (1+x)... ??
ich hab jetzt an dem was ich rausbekommen hatte noch ein bissle rumgeformt, und komm jetzt auf das hier:
E[X]= [mm] \frac{r n}{N} \summe_{k=1}^{n} \frac{ \binom{r-1}{k-1} \binom{N-r}{n-k} }{ \binom{N-1}{n-1}}
[/mm]
wenn man da eine indexverschiebung durchführt ist das doch so ähnlich, wie wenn man die summe von dir noch durch den Binomialkoeffizient teilt, aber irgendwie kürzt sich das nicht weg...??
ich mein wenn die summe =1 wäre, hätte ich ja das richtige ergebnis...?!
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Sa 24.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Also der Ansatz mit dem [mm] (1+x)^{n} [/mm] samt Ableitungen erweist sich beim Beweis von Identitäten mit Binomialkoeffizienten immer sehr effizient.
Im Allgemeinen nennt man diese Methode die Methoder der erzeugenden Funktionenen, da die Koeffizienten bei der Reihenentwicklung genau die gesuchten Binomialkoeffizienten sind.
Bei Summen von Binomialkoeffizient Produkten, nimmt man dann die Multiplikationen der entsprechenden erzeugenden Funktionen.
Was ist dir bei meiner Lösung nicht klar.
Deiner letzten Darlegung kann ich nicht ganz folgen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo,
also ich hab das halt so in meinem kopf das E[X] = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k P(X=k), deshalb versteh ich noch nicht, woher man weiß(bevor man es so rechnet), dass bei deinem ansatz zum schluss wirklich E[X] rauskommt...??
warum entspricht das der multiplikation der erzeugenen funktionen?
warum sind die exponenten r, N-r und N?
die umformungen versteh ich dann schon, nur wie man das ganze durch [mm] \binom{N}{n} [/mm] dividiert, ist mir auch noch nicht klar ... weil ausschreiben und kürzen funktioniert irgendwie nicht...??
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 So 25.03.2007 | | Autor: | wauwau |
also prinzipiell zu erzeugenden Funktionen:
[mm] (1+x)^n [/mm] erzeugt die Binomialkoeffizienten [mm] \binom{n}{k}
[/mm]
Die Ableitung erzeugt das 1. Moment [mm] k*\binom{n}{k}
[/mm]
usw.
D.h. die Erste Ableitung an der stelle 1 ergibt
[mm] \summe_{k=1}^{n}k*\binom{n}{k} [/mm] = [mm] n*2^{n-1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 So 25.03.2007 | | Autor: | Riley |
ahso... jetzt versteh ich bissle mehr von erzeugenden funktionen, bin denen vorher noch nie begegnegt. habs bei wiki auch mal nachgelesen.
Vielen Dank nochmal für deine Hilfe!
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 So 25.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Also die Umformungen bis
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{r \\ k}*k*\vektor{N-r \\ n-k} [/mm] = [mm] r*\vektor{N-1 \\ n-1}
[/mm]
verstehtst du.
Dann steht aber auf der linken Seite genau bis auf denn Nenner die Formel für den Erwartungswert der hyperg. Verteilung, die du ja auch in deiner ersten Frage richtig aufgeschrieben hast.
Jetzt musst du beide seiten mit [mm] \binom{N}{n} [/mm] diviedieren, damit du dann auf der linken Seite die wirkl. Formel für den ERwartungswert stehen hast.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Sa 24.03.2007 | | Autor: | wauwau |
> E[X]= [mm]\frac{r n}{N} \summe_{k=1}^{n} \frac{ \binom{r-1}{k-1} \binom{N-r}{n-k} }{ \binom{N-1}{n-1}}[/mm]
Man betrachtet wiederum nur
[mm]\summe_{k=1}^{n} \binom{r-1}{k-1} \binom{N-r}{n-k} [/mm]
Jetzt kannst du einem Formelbuch vertrauen und unter Vandermondesche Identität nachlesen, dass diese Summe genau
[mm] \binom{N-1}{n-1} [/mm] ist , denn diese Identität besagt einfach
[mm]\summe_{k=0}^{n} \binom{M}{k} \binom{N}{n-k} = \binom{M+N}{n} [/mm]
oder du versuchst, meine Ableitung zu verstehen, denn dann kannst du auch einfach die Varianz,.... für viele Verteilungen verstehen und berechnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Riley |
... hier versteh ich aber nicht warum man die summe einfach nur auf den zähler anwenden darf?? ansonsten wäre das ja ein schneller weg!
klar, würde den andren weg auch gerne verstehen, vielleicht tu ich das, wenn du mir die fragen von dem andren post noch beantwortest... ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 So 25.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Weil der nenner vom Summationsindex k unabhängig ist (k im nenner einfach nicht vorkommt! und daher der Nenner aus der Summe rausgehoben werden kann)
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