Erwartungswert < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo erstmal,
ich weiß nicht genau, ob meine Frage für dieses Forum passend ist, aber vielleicht hilft mir ja jemand.
Wir schreiben bald eine Matheklausur über Stochastik, was ich auch verstanden habe.
Das einzige, was ich gar nicht kann ist die Berechnung des Erwartungswerts.
Ich verstehe überhaupt nicht, wie das funktionieren soll und wo man bei einer Aufgabe überhaupt ansetzen soll und meine Lehrein meinte wir hätten keine Zeit, das nochmal durchzugehen.
Es wäre wirklich nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Liebe Grüße
beatbulette
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Hallo Dorothea,
der Erwartungswert E(X) ist quasi der Mittelwert deines Zufallsexperiments. Also das, was du als Ergebnis im Durchschnitt erwarten kannst.
E(X) ist definiert als Summe über $ p(x)*x $
Sei p(x) die Wahrschenlichkeit für dieses Ereignis und x der Wert der diesem Ereignis zugeordnet ist.
$ [mm] E(X)=\summe_{i}^{} p_{i}*x_{i}$
[/mm]
Einfaches Beispiel:
Du hast einen Würfel mit 6 Seiten. Ein optimaler Würfel wird mit der Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{1}{6} [/mm] auf einer Zahl x landen.
Deine Ergebnismenge ist also X={1,2,3,4,5,6}
Der Erwartungswert ist jetzt hier folgendes: Du nimmst einfach jedes mögliche Ergebnisse aus X (also alle Zahlen die gewürfelt werden könnten) und multiplizierst es mit der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses. Da bei einem Würfel alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind, also immer mit [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Mathematisch
$ [mm] E(X)=\summe_{1}^{6} x_{i}*p_{i}= \bruch{1}{6}*1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*5 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*6 [/mm] = 3,5 $
Ist doch gar nicht so schwer, oder? Probier es am besten mal an einigen Beispielen aus. Wie wärs z.B. bei nem Würfel mit 12 Seiten und den Zahlen 1 bis 12?
Grüße
Daniel
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Hallo Daniel,
vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort. Ein bisschen was habe ich glaube ich schon verstanden.
Bei einem Würfel mit 12 Seiten müsste die Rechnung doch fast genauso aussehen wie die bei einem 6- seitigen, oder?
Also:
[mm] E(x)=\bruch{1}{12}*1+\bruch{1}{12}*2+\bruch{1}{12}*3+....+\bruch{1}{12}*12= 6\bruch{1}{2} [/mm] (wenn ich micht nicht verrechnet habe und mein Gedabke überhaupt stimmt...)
Ist das den erstmal richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mo 26.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
die Aufgabe ist absolut richtig beantwortet!
Gruß,
clwoe
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Soweit habe ich das glaube ich verstanden...
Aber bei dieser Aufgabe komme ich dann wieder nicht weiter:
Es wird folgendes Spiel vereinbart: Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen und ihre Augensumme betrachtet. Beträgt sie 2, werden 4 Euro ausgezahlt, beträgt sie 3 oder 4, wird ein Euro ausgezahlt, in allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung. Wie groß muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?
Wo muss ich da ansetzen und wie kann ich das berechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mo 26.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo Dorothea!
> Es wird folgendes Spiel vereinbart: Zwei Würfel werden
> gleichzeitig geworfen und ihre Augensumme betrachtet.
> Beträgt sie 2, werden 4 Euro ausgezahlt, beträgt sie 3 oder
> 4, wird ein Euro ausgezahlt, in allen anderen Fällen
> erfolgt keine Auszahlung. Wie groß muss der Einsatz sein,
> damit das Spiel fair ist?
>
> Wo muss ich da ansetzen und wie kann ich das berechnen?
Den Erwartungswert berechnest du genau so, wie in den vorigen Fällen. D.h. zuerst ermittelst du die WS dafür, 2 Augen zu würfeln und 3 oder 4 Augen zu würfeln. Diese WS multiplizierst du mit den Beträgen, die jew. ausgezahlt werden und addierst das Ganze, d.h. wenn X die Augensumme bezeichnet, Y den Auszahlungsbetrag:
[mm]E(Y) = P(X=2) * 4 + P(X=3 \vee X=4) * 1 + P(X > 4) * 0[/mm]
Das Spiel ist ganz einfach dann fair, wenn der Einsatz dem Erwartungswert entspricht, also der erwarteten Auszahlung. Allgemeiner ist ein Spiel dann fair, wenn der zu erwartende Gewinn (Auszahlung - Einsatz) 0 beträgt, du also im Mittel zwar nichts gewinnst, aber auch nichts verlierst.
Gruß,
Carsten
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:14 Mo 26.02.2007 | | Autor: | beatbulette |
Danke nochmal für die schnellen Antworten... Vielleicht verstehe ich das Thema ja heute noch 
Irgendwie verstehe ich bei diesen Veruschen aber immernoch nicht, wie ich die Wahrscheinlichkeit berechne...
Ich kann doch eigentlich insgesamt 24 verscheidene Zahlen würfeln, oder?
Eine 2 kann ich nur würfeln, wenn ich mit beiden Würfeln eine 1 würfle, die Wahrscheinlichkeit beträgt also [mm] \bruch{2}{24}...
[/mm]
Stimmt diese Überlegung erstmal?
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Ich habe gerade nochmal über die Frage nachgedacht... Eigentlich habe ich doch keine 24 Möglichkeiten, sondern auf jedem Würfel 6 Zahlen, d.h. 6*6= 36 Möglichkeiten, oder?
Stimmt es dann trotzdem, dass die Ws für eine 2 [mm] \bruch{1}{36} [/mm] ist, da ich nur 1+1 würfeln kann, die für 3 auch [mm] \bruch{1}{36}, [/mm] die für 5 [mm] \bruch{2}{36} [/mm] und somit die für den Rest [mm] \bruch{32}{36}?[/mm]
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Hallo beatbulette und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ich habe gerade nochmal über die Frage nachgedacht...
> Eigentlich habe ich doch keine 24 Möglichkeiten, sondern
> auf jedem Würfel 6 Zahlen, d.h. 6*6= 36 Möglichkeiten,
> oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt es dann trotzdem, dass die Ws für eine 2
> [mm]\bruch{1}{36}[/mm] ist, da ich nur 1+1 würfeln kann, die für 3
> auch [mm]\bruch{1}{36},[/mm] die für 5 [mm]\bruch{2}{36}[/mm] und somit die
> für den Rest [mm]\bruch{32}{36}?[/mm]
Deine Zufallsgröße ist diesmal X: Augensumme und kann folgende Werte annehmen, aber nicht alle kommen gleich häufig vor:
2: (1,1)
3: (1,2) oder (2,1)
4: (1,3, (2,2), (3,1)
>4: die restlichen Möglichkeiten
daraus ergeben sich die Wktn.:
[mm] P(X=2)=\frac{1}{36}
[/mm]
[mm] P(X=3)=\frac{2}{36}
[/mm]
[mm] P(X=4)=\frac{3}{36}
[/mm]
[mm] P(X>4)=\frac{30}{36}
[/mm]
für den Erwartungswert musst du nun den jeweiligen Gewinn mit P(X=x) für jeden Wert multiplizieren und dann addieren.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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Ok, danke erstmal.
Also die Aufgabe habe ich jetzt verstanden... Ich werde morgen nochmal gucken, wie es mit den anderen Aufgaben läuft... Aber ihr habt mir alle ein großes Stück weitergeholfen!
Liebe Grüße
Doro
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