Erwartungstreuer Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
[mm] f(n)=\begin{cases} \theta*x^{\theta-1}, & \mbox{} \mbox{ 0
mit einem unbekannten Parameter [mm] \theta>0. [/mm] Die Zufallsvariablen [mm] X_1, ...,X_n [/mm] seien unabhängig und identisch verteilt wie X.
a) Zeigen Sie dass das arithmetische Mittel
[mm] T(X_1, ...,X_n)=\bruch{1}{n}*(X_1, ...,X_n) [/mm]
ein erwartungstreuer Schätzer für [mm] \tau(\theta)=\bruch{\theta}{1+\theta} [/mm] ist
b)Bestimmen Sie den Maximum Likelihood Schätzer für [mm] \tau(\theta)=\theta [/mm] |
Servus!
Wie fange ich da ambesten mit der a) an?
und bei der b) hätte ich [mm] \theta*x^{\theta-1} [/mm] logarithmiert und dann abgeleitet und gleich 0 gesetzt. Stimmt das bis da?
DANKE
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo taylordurden2510 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
> [mm]f(n)=\begin{cases} \theta*x^{\theta-1}, & \mbox{} \mbox{ 0
>
> mit einem unbekannten Parameter [mm]\theta>0.[/mm] Die
> Zufallsvariablen [mm]X_1, ...,X_n[/mm] seien unabhängig und
> identisch verteilt wie X.
>
> a) Zeigen Sie dass das arithmetische Mittel
> [mm]T(X_1, ...,X_n)=\bruch{1}{n}*(X_1, ...,X_n)[/mm]
?? [mm]T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{1}{n}\cdot{}\sum\limits_{i=1}^nX_i[/mm] ist doch das arithmetische Mittel ...
> ein erwartungstreuer Schätzer für
> [mm]\tau(\theta)=\bruch{\theta}{1+\theta}[/mm] ist
>
> b)Bestimmen Sie den Maximum Likelihood Schätzer für
> [mm]\tau(\theta)=\theta[/mm]
> Servus!
>
> Wie fange ich da ambesten mit der a) an?
Zeige, das [mm]E(T)=\frac{\theta}{1+\theta}[/mm] ist.
Berechne dazu erstmal den Erwartungswert einer ZV X, also [mm]E(X)[/mm]
Dann beachte die Linearität des Erwartungswertes:
[mm]E(T)=E\left(\frac{1}{n}\cdot{}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)=\ldots[/mm]
Naja, das muss mal als Tipp genügen, steht fast alles da, rechne [mm]E(X)[/mm] aus und es wird klar ...
>
> und bei der b) hätte ich [mm]\theta*x^{\theta-1}[/mm] logarithmiert
> und dann abgeleitet und gleich 0 gesetzt. Stimmt das bis
> da?
Der MLE maximiert doch das [mm]\theta[/mm] bzgl. der Produktdichte [mm]\prod\limits_{i=1}^nf(X_i)[/mm]
Diese Likelihoodfkt. berechne, dann kannst du immer noch entscheiden, ob du sie direkt oder einfacher die Log-Likelihoodfkt. maximierst ..
Aber leg erstmal los ...
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> DANKE
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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´Hey danke für die schnelle Antwort!!
Also bei der a) komm ich nicht weiter. Mein [mm] E(T)=n*\theta*x_i ^{\theta-1}*p_i [/mm] . Wie soll ich da auf [mm] 1/(1+\theta) [/mm] kommen? Steh da grad auf dem Schlauch...
Und bei der b) hab ich [mm] -ln(x_i) [/mm] raus - kannst du das bestätigen?
Vielen Dank, echt!
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Hallo nochmal,
> ´Hey danke für die schnelle Antwort!!
>
> Also bei der a) komm ich nicht weiter. Mein
> [mm]E(T)=n*\theta*x_i ^{\theta-1}*p_i[/mm] .
Nein, das kann doch nicht stimmen, die n ZV [mm]X_1,\ldots X_n[/mm] sind doch iid, haben also insbesondere denselben Erwartungswert.
Ich sagte ja, nutze die Linearität des Erwartungswertes, aber dazu brauchst du erstmal [mm]E(X)[/mm] für eine der ZVen
> Wie soll ich da auf
> [mm]1/(1+\theta)[/mm] kommen? Steh da grad auf dem Schlauch...
Berechne erstmal [mm]E(X)[/mm] für eine ZV, hatte ich doch geschrieben, berechne also
[mm]\int\limits_{0}^{1}x\cdot{}f_{\theta}(x) \ dx}[/mm]
>
> Und bei der b) hab ich [mm]-ln(x_i)[/mm] raus - kannst du das
> bestätigen?
Ich habe nur bedingt Lust, das alles nochmal nachzurechnen.
Zeige deine Rechnung, v.a. die Produktdichte, dann sehen wir weiter ...
>
> Vielen Dank, echt!
Gerne, echt! 
Bis gleich
schachuzipus
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aaaalles klar...jetzt hab ich die a) gelöst ;)
und zur b) da bin ich mir sicher dass es passt. Wills jetzt auch nicht mehr abtippen!
da gibts noch eine Aufgabe:
c) welche bekannte Verteilung besitzt die Zufallsvariable Y:=-ln(X) ?
Kannst du das auch noch kurz andeuten?
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Hallo nochmal,
> aaaalles klar...jetzt hab ich die a) gelöst ;)
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Gut!
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> und zur b) da bin ich mir sicher dass es passt. Wills jetzt
> auch nicht mehr abtippen!
Ich bin mir sicher, dass es falsch ist, ich habe [mm] $\hat\theta=-\frac{1}{n}\cdot{}\sum\limits_{i=1}^{n}\log(X_i)$
[/mm]
Da solltest du noch prüfen, ob es tatsächlich ein Max. ist, also 2.Ableitung berechnen und an der Stelle [mm] $\hat\theta$ [/mm] auswerten ...
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> da gibts noch eine Aufgabe:
>
> c) welche bekannte Verteilung besitzt die Zufallsvariable
> Y:=-ln(X) ?
>
> Kannst du das auch noch kurz andeuten?
Mache eine Dichtetransformation.
Schaue dir dazu den Transformationssatz für Dichten an ...
Gruß
schachuzipus
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