Erwartungstreue zeigen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Fr 21.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
| Aufgabe | Betrachten n unabhängige Bernoulli(p) Zufallsvariablen [mm] X_{1},...,X_{n}. [/mm]
d.h. [mm] P[X_{i}=1]=1-P[X_{i}=0]=p
[/mm]
[mm] \overline{X}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_{i}
[/mm]
Um die Varianz p(1-p) zu schätzen betrachten wir den Schätzer [mm] T=\overline{X}(1-\overline{X})
[/mm]
a) zeige T ist nicht erwartungstreu
b) konstruiere erwartungstreuen Schätzer T' proportional zu T |
zu a)
[mm] E(T)=E(\overline{X}-\overline{X}^2)=E(\overline{X})-E(\overline{X}^2)
[/mm]
ich habe schon berechnet, dass gilt [mm] E(\overline{X})=p, [/mm] daher berechne ich noch
[mm] E(\overline{X}^2)=E((\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_{i})^2)=\bruch{1}{n^2}E((\summe_{i=1}^{n}X_{i})^2)=\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}E(X_{i}X_{j})=\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}E(X_{i})E(X_{j})=\bruch{1}{n^2}*n^2*p^2=p^2
[/mm]
daraus folgt dann E(T)=p(1-p) und dann wäre T ja erwartungstreu??
wo ist mein Fehler??
Danke schonmal
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Fr 21.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin
> [mm]E(\overline{X}^2)=E((\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_{i})^2)=\bruch{1}{n^2}E((\summe_{i=1}^{n}X_{i})^2)=\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}E(X_{i}X_{j})=\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}E(X_{i})E(X_{j})=\bruch{1}{n^2}*n^2*p^2=p^2[/mm]
>
>
In der Summe [mm] $\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}E(X_{i}X_{j})$ [/mm] steckt [mm] $E[X_1X_1]=E[X_1^2]=E[X_i]=p \ne p^2$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Fr 21.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
oke danke!
kannst du mir vielleicht zu b) einen tipp geben?
da finde ich leider keinen geeignete erwartungstreuen schätzer...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Fr 21.06.2013 | | Autor: | luis52 |
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> kannst du mir vielleicht zu b) einen tipp geben?
> da finde ich leider keinen geeignete erwartungstreuen
> schätzer...
Mit $ [mm] T=\overline{X}(1-\overline{X}) [/mm] $ hat man dir (den stets fuer die Varianz verzerrten) Schaetzer [mm] $S^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2/n$ [/mm] serviert. Hingegen ist [mm] $\tilde S^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2/(n-1)$ [/mm] unverzerrt. Konkret ergibt sich
[mm] $\tilde S^2=\frac{n}{n-1}S^2=\frac{n}{n-1}\bar X(1-\bar [/mm] X)$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Sa 22.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
oke danke für die Antwort
wenn ich aber
[mm] E(\frac{n}{n-1}\overline{X}(1- \overline{X}))
[/mm]
nachrechne komme ich doch als Ergebnis auf 0?
Weil [mm] E(\overline{X}(1- \overline{X}))=0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Sa 22.06.2013 | | Autor: | luis52 |
>
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> Weil [mm]E(\overline{X}(1- \overline{X}))=0[/mm]
Eine kuehne Behauptung! 
*Ich* rechne so:
[mm] $E[\overline{X}(1- \overline{X})]=E[\overline{X}]- E[\overline{X}^2]=E[\overline{X}]- (Var[\bar X]+E[\overline{X}]^2)=...$
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 So 23.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
gut so funktioniert es besser :)
danke luis
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 23.06.2013 | | Autor: | Lu- |
Warum ist T = [mm] S^2 [/mm] ?
Liebe Grüße
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Hallo,
einfach nachrechnen. Diese Formel gilt aber NUR für Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen.
[mm] $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i [/mm] - [mm] \overline{X})^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i^2 [/mm] - 2 [mm] X_i \overline{X} [/mm] + [mm] \overline{X}^2) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2 [/mm] - [mm] \overline{X}^2$,
[/mm]
Nun ist [mm] $X_i^2 [/mm] = [mm] X_i$ [/mm] wegen Bernoulli-Verteilung.
$= [mm] \overline{X} [/mm] - [mm] \overline{X}^2$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 23.06.2013 | | Autor: | Lu- |
Hallo
Wie kommst du zum dritten Schritt=??
(also zweite Gleichheitszeichen)
> $ [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i [/mm] - [mm] \overline{X})^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i^2 [/mm] - 2 [mm] X_i \overline{X} [/mm] + [mm] \overline{X}^2) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2 [/mm] - [mm] \overline{X}^2 [/mm] $,
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 So 23.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hallo
> Wie kommst du zum dritten Schritt=??
> (also zweite Gleichheitszeichen)
>
Ich wuerde das vielleicht etwas anders zeigen als Stefan:
$ [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i [/mm] - [mm] \overline{X})^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i(X_i [/mm] - [mm] \overline{X})-\overline{X}\frac{1}{n}\underbrace{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})}_{=0} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2 [/mm] - [mm] \overline{X}^2 [/mm] $.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 So 23.06.2013 | | Autor: | Lu- |
danke*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 So 23.06.2013 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Ich habe noch eine kleine Frage: Nun ist $ [mm] X_i^2 [/mm] = [mm] X_i [/mm] $ wegen Bernoulli-Verteilung.
Ich hab das nicht geschafft zu zeigen, hab ihr da noch einen kleinen Hinweis für mich?
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Hallo,
> Hallo,
> Ich habe noch eine kleine Frage: Nun ist [mm]X_i^2 = X_i[/mm] wegen
> Bernoulli-Verteilung.
> Ich hab das nicht geschafft zu zeigen, hab ihr da noch
> einen kleinen Hinweis für mich?
Wenn [mm] X_i [/mm] Bernoulli-verteilt ist, dann kann [mm] X_i [/mm] nur die Werte 0 und 1 annehmen. Aber es gilt [mm] 0^2 [/mm] = 0 und [mm] 1^2 [/mm] = 1.
Viele Grüße,
Stefan
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