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| Aufgabe | Taxiproblem: N Taxis in einer Stadt, die von 1 bis N durchnummeriert sind, davon werden n beobachtet. (Die Wahrscheinlichkeit für die Beobachtung jeder Teilmenge von Taxis ist gleichwahrscheinlich, also [mm] \binom{N}{n}^{-1}.)
[/mm]
Wir beobachten die Taxis mit den Nummer [mm] (x_1, x_2,\dots, x_n) [/mm] (schon der Größe nach sortiert) und haben einen Schätzer [mm] x_{n}+\frac{x_{n}-n}{n} [/mm] (dieser Schätzer berücksichtigt die Lückenlängen zwischen den beobachteten Taxinummern).
Zeigen Sie, dass dieser Schätzer erwartungstreu ist. |
Da ich zum ersten Mal etwas mit "erwartungstreu" zu tun habe, überfordert mich die Definition etwas. Meine Definitionen lauten: Ein Schätzer [mm] \hat{g} [/mm] von [mm] g(\theta) [/mm] heißt erwartungstreu, wenn [mm] \forall\theta\in\Theta: E_\theta(\hat{g}(X))=g(\theta). [/mm] Dabei ist für einen Schätzer [mm] T:X\rightarrow\mathbb{R} [/mm] der Erwartungswert definiert als [mm] E_\theta T=\sum\limits_{x\in X}T(x)P_\theta(x).
[/mm]
X ist der Stichprobenraum, der alle möglichen Beobachtungen enthält, [mm] g(\theta) [/mm] ist die Funktion, die wir schätzen wollen, und es ist eine Familie von Verteilungen auf X durch [mm] \{P_\theta:\theta\in\Theta\} [/mm] gegeben.
Ein Schätzer ist eine Funktion [mm] X\rightarrow\mathbb{R}
[/mm]
Meine Fragen: 1. Ich verstehe nicht, warum wir eine Funktion [mm] g(\theta) [/mm] schätzen wollen. Wir wollen doch eine einzige Zahl (die Anzahl der Taxis) schätzen?
2. Was ist das [mm] \Theta?
[/mm]
3. Wie löse ich das konkrete Beispiel? Mein X ist wohl hier Teilmenge des [mm] \mathbb{R}^{n} [/mm] und mein Schätzer hängt nur von der letzten Komponente ab. Auf der linken Seite meiner Definition hätte ich [mm] E_\theta(\hat{g}(X))=\sum\limits_{x\in X}(x_{n}+\frac{x_{n}-n}{n}\cdot\binom{N}{n}^{-1}, [/mm] wie mache ich da weiter? Rechts habe ich [mm] g(\theta), [/mm] aber was soll das sein? Ist mein [mm] \theta [/mm] auch Element des [mm] \mathbb{R}^{n}? [/mm] Irgendwie komme ich nicht weiter.. Bitte um eure Hilfe.
Danke und liebe Grüße
Herr von Omikron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 So 17.06.2012 | | Autor: | luis52 |
> Meine Fragen: 1. Ich verstehe nicht, warum wir eine
> Funktion [mm]g(\theta)[/mm] schätzen wollen. Wir wollen doch eine
> einzige Zahl (die Anzahl der Taxis) schätzen?
> 2. Was ist das [mm]\Theta?[/mm]
Moin, i.a. ist [mm] $\theta$ [/mm] ein Modellparameter, z.B. das [mm] $\lambda$ [/mm] bei der Exponentialverteilung. Willst du deren Erwartungswert schaetzen, so ist die Parameterfunktion [mm] $g(\lambda)=1/\lambda$ [/mm] zu schaetzen.
In deiner Aufgabe ist $g(N)=N$.
> 3. Wie löse ich das konkrete Beispiel? Mein X ist wohl
> hier Teilmenge des [mm]\mathbb{R}^{n}[/mm] und mein Schätzer hängt
> nur von der letzten Komponente ab. Auf der linken Seite
> meiner Definition hätte ich
> [mm]E_\theta(\hat{g}(X))=\sum\limits_{x\in X}(x_{n}+\frac{x_{n}-n}{n}\cdot\binom{N}{n}^{-1},[/mm]
> wie mache ich da weiter? Rechts habe ich [mm]g(\theta),[/mm] aber
> was soll das sein? Ist mein [mm]\theta[/mm] auch Element des
> [mm]\mathbb{R}^{n}?[/mm] Irgendwie komme ich nicht weiter.. Bitte um
> eure Hilfe.
Bestimme die Verteilung von [mm] $x_n$ [/mm] und danach [mm] $\operatorname{E}[x_n]$.
[/mm]
vg Luis
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Erstmal vielen Dank für die Antwort,
wie mache ich das denn mit der Verteilung? Bin ich auf dem richtigen Weg, wenn ich versuche zu bestimmen, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass N der größte Wert meiner Stichprobe ist, dass N-1 der größte Wert meiner Stichprobe ist etc.?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 So 17.06.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
vielleicht kannst du hier etwas Honig saugen.
vg Luis
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