Erwartungstreue Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mo 13.01.2014 | | Autor: | custos |
| Aufgabe | Ist X binomialverteilt, so ist die Standardabweichung [mm]\sqrt{np(1-p)}[/mm] nicht erwartungstreu schätzbar, denn für jeden Schätzer [mm]T[/mm] ist
[mm]E_pT = \sum_{x=0}^nT(x)\binom nx p^x(1-p)^{n-x}[/mm]
ein Polynom in [mm]p[/mm]. Damit ist die Ableitung von [mm]E_pT[/mm] nach [mm]p[/mm] in [mm]p=0[/mm] endlich, aber die von [mm]\sqrt{np(1-p)}[/mm] ist unendlich. |
Warum genügt obige Feststellung, um zu zeigen, dass kein erwartungstreuer Schätzer möglich ist? Für Erwartungstreue wäre doch gefordert:
[mm]E_pT = \sum_{x=0}^nT(x)\binom nx p^x(1-p)^{n-x} = \sqrt{np(1-p)}[/mm]
Wieso prüft man nicht die Gleichung selbst, sondern die Ableitung? Wie kommt die Ableitung ins Spiel?
Für Mathematiker wahrscheinlich gar keine Frage, mir ist das aber nicht auf Anhieb klar. :S
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Hiho,
sind zwei differenzierbare Funktionen gleich, so doch auch ihre Ableitung.
D.h. gilt f(p)=g(p) so doch auch f'(p)=g'(p)
Daraus folgt eben sofort aus $f'(p) [mm] \not= [/mm] g'(p)$, dass dann auch $f(p) [mm] \not= [/mm] g(p)$
> Wieso prüft man nicht die Gleichung selbst, sondern die Ableitung?
Weil man hier eben mit einfachen Überlegungen sofort belegen kann, dass die Ableitungen nicht gleich sind, weil die eine beschränkt um Null ist, die andere aber eben nicht.
Die andere Gleichheit zu widerlegen ist aufwändiger.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Di 14.01.2014 | | Autor: | custos |
Alles klar, das klingt sinnvoll, danke! :)
Nur noch eine kleine Frage: Gibt es einen schnellen Weg einzusehen, dass die Ableitung von [mm]\sqrt{np(1-p)}[/mm] unendlich ist? Ohne viel zu rechnen?
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Hiho,
> Nur noch eine kleine Frage: Gibt es einen schnellen Weg
> einzusehen, dass die Ableitung von [mm]\sqrt{np(1-p)}[/mm] unendlich ist? Ohne viel zu rechnen?
Für die Ableitung der Wurzelfunktion solltest du nicht viel rechnen müssen, die sollte bekannt sein.
Wenn es sie dir nicht ist, musst du das wohl oder übel durchrechnen.
Gruß,
Gono.
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