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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erwartung bei Stoppzeit
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Erwartung bei Stoppzeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Mo 26.05.2014
Autor: nbt

Aufgabe
Sei [mm] $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] ein Martingal bzgl. einer FIltration [mm] $\mathcal{F}:=(\mathcal{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$. [/mm] Es gebe $M>0$, sodass [mm] $\forall n\in\mathbb{N}:|X_{n+1}-X_n|\leq [/mm] M$. Weiter sei $T$ eine Stoppzeit bzgl. [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $E[T]<\infty$. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] $E[X_T]=E[X_0]$ [/mm]

Hi,

bisher hab ich die Behauptung nur unter der Vorausstzung zeigen können, dass [mm] $X_n$ [/mm] und $T$ unabhängig:
[mm] $E[X_T]=E[X_n|T=n]\stackrel{Martingal}{=}E[E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]|T=n]\stackrel{Def.}{=}\frac{E[E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n],T=n]}{P(T=n)}$ [/mm]
[mm] $\stackrel{\text{Messb. von }\mathbf{1}}{=}\frac{E[E[X_{n+1}\mathbf{1}_{T=n}|\mathcal{F}_n]]}{E[\mathbf{1}_{T=n}]}\stackrel{Unabh.}{=}E[X_{n+1}]\stackrel{Martingal}{=}E[X_0]$ [/mm]

Ok, aber ich glaub so nen Ansatz kann ich vergessen, da ich nicht einmal die Voraussetzungen aus der Aufgabe verwendet habe. Mir ist noch in einem Buch (Durrett) ein Satz aufgefallen, der besagt, dass aus [mm] $|X_{n+1}-X_n|$ [/mm] und [mm] $E[X_n]<\infty$ [/mm] folgt: [mm] $P(\lim X_n \text{ existiert und ist endlich})=1$. [/mm]
Aber wie könnte mir fast sichere Konvergenz nützen?

Danke für die Hilfe,
nbt

        
Bezug
Erwartung bei Stoppzeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Mo 26.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

klar sollte sein, dass [mm] $(X_n^T)_{n\in\IN} [/mm] = [mm] (X_{n\wedge T})_{n\in\IN}$ [/mm] ein Martingal ist und damit

[mm] $E[X_n^T] [/mm] = [mm] E[X_0]$. [/mm]

Klar ist auch sofort:

[mm] $E[X_T] [/mm] = [mm] E[\lim_{n\to\infty} X_{n\wedge T}]$ [/mm]

Die Frage ist jetzt also: Wie bekommen wir den Grenzwert aus dem Erwartungswert.

Hilfreich dafür könnte der Prozess $M= [mm] |X_0| [/mm] +  [mm] \sum_{k=0}^{T - 1}\left|X_{k+1} - X_k\right|$ [/mm] sein.

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Erwartung bei Stoppzeit: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 Di 27.05.2014
Autor: nbt

Hi, danke für den Hinweis:
Wir haben bereits in der Vorlesung gezeigt, dass das gestoppte Folge [mm] $(X_{n\wedge T})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] sogar ein Martingal bzgl. der Filtration ist, zu der [mm] $(X_n)_n$ [/mm] adaptiert ist.
Wir wissen also, dass

[mm] $E[X_{n\wedge T}|\mathcal{F}_0]=X_0$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow E[E[X_{n\wedge T}|\mathcal{F}_0]]=E[X_0]$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}E[E[X_{n\wedge T}|\mathcal{F}_0]]=\lim_{n\to\infty}E[X_0]=E[X_0]$ [/mm]

Demnach muss man nur noch zeigen, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}E[X_{n\wedge T}]=E[\lim_{n\to\infty}X_{n\wedge T}]=E[X_T]$ [/mm] gilt.
Dazu schreiben wir, wie du angedeutet hast: [mm] $|X_{n\wedge T}|=\sum_{i=0}^{(n\wedge T)-1}|X_{i+1}-X_i|$. [/mm] Das können wir nun mit der Voraussetzung abschätzen:
[mm] $\sum_{i=0}^{(n\wedge T)-1}|X_{i+1}-X_i|\leq [/mm] TM$
Wir haben also eine Majorante [mm] $g(\omega)\equiv [/mm] TM$ mit [mm] $E[TM]=ME[T]<\infty$ [/mm] nach Voraussetzung. Damit sind Limes und Integral vertauschbar und es folgt [mm] $\lim_{n\to\infty}E[X_{n\wedge T}]=E[X_T]$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Erwartung bei Stoppzeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Di 27.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Dazu schreiben wir, wie du angedeutet hast: [mm]|X_{n\wedge T}|=\sum_{i=0}^{(n\wedge T)-1}|X_{i+1}-X_i|[/mm].

das stimmt ja nicht.

Gruß
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Erwartung bei Stoppzeit: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:53 Do 29.05.2014
Autor: nbt

Hi,
sry, so sollte es jetzt stimmen:
[mm] $|X_{n\wedge T}|=|X_0+\sum_{k=0}^{(n\wedge T)-1}(X_{i+1}-X_i)|\leq |X_0|+\sum_{k=0}^{T-1}| X_{i+1}- X_i |\leq|X_0|+TM$ [/mm]
Dann ist die von $n$ unabhängige Majorante [mm] $g(\omega)=|X_0(\omega)|+MT(\omega)$ [/mm]

VG

Bezug
                                        
Bezug
Erwartung bei Stoppzeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Do 29.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sieht gut aus :-)

Gruß,
Gono.

Bezug
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