Erstellung linearer Abb < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 So 27.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Zusammen,
meine Aufgabe ist die folgende: Gibt es lineare Abbildungen [mm] \IR^{4} \to \IR^{3}, [/mm] die die folgenden Vektoren [mm] a_{i} \in \IR^{4} [/mm] jeweils auf die angegebenen Vektoren [mm] b_{i} \in \IR^{3} [/mm] abbilden:
(a) [mm] a_{1}= [/mm] (1,0,1,1), [mm] a_{2}= [/mm] (0,1,1,1), [mm] a_{3}=(1,1,1,0), a_{4}=(1,1,0,1)
[/mm]
[mm] b_{1}= [/mm] (0,1,2), [mm] b_{2}= [/mm] (1,0,2), [mm] b_{3}=(1,2,0), b_{4}=(0,0,7)
[/mm]
Habe davon noch zwei weitere Aufgaben zu lösen... mir fehlt jedoch jeglicher Ansatz, wie ich eine solche Abbildung finden kann. Ich weiß, dass eine Abbildung genau dann linear ist, wenn
f(x+y)= f(x)+ f(y) und f( [mm] \lambda x)=\lambda [/mm] f(x) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V, [mm] \lambda \in [/mm] IK. Wie kann ich denn jetzt vorgehen und eine Abbildung suchen, bei der die Vektoren [mm] a_{i} [/mm] auf [mm] b_{i} [/mm] abgebildet werden?
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus;)
Liebe Grüße:)
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> Hallo Zusammen,
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> meine Aufgabe ist die folgende: Gibt es lineare Abbildungen
> [mm]\IR^{4} \to \IR^{3},[/mm] die die folgenden Vektoren [mm]a_{i} \in \IR^{4}[/mm]
> jeweils auf die angegebenen Vektoren [mm]b_{i} \in \IR^{3}[/mm]
> abbilden:
>
> (a) [mm]a_{1}=[/mm] (1,0,1,1), [mm]a_{2}=[/mm] (0,1,1,1), [mm]a_{3}=(1,1,1,0), a_{4}=(1,1,0,1)[/mm]
>
> [mm]b_{1}=[/mm] (0,1,2), [mm]b_{2}=[/mm] (1,0,2), [mm]b_{3}=(1,2,0), b_{4}=(0,0,7)[/mm]
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> Habe davon noch zwei weitere Aufgaben zu lösen... mir fehlt
> jedoch jeglicher Ansatz, wie ich eine solche Abbildung
> finden kann. Ich weiß, dass eine Abbildung genau dann
> linear ist, wenn
> f(x+y)= f(x)+ f(y) und f( [mm]\lambda x)=\lambda[/mm] f(x)
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] V, [mm]\lambda \in[/mm] IK. Wie kann ich denn jetzt
> vorgehen und eine Abbildung suchen, bei der die Vektoren
> [mm]a_{i}[/mm] auf [mm]b_{i}[/mm] abgebildet werden?
Hallo,
Deine [mm] a_i [/mm] da oben sind ja eine Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Dh. jedes x [mm] \in \IR^4 [/mm] kannst Du eindeutig schreiben als [mm] \summe_{i=1}^{4}\lambda_ia_i, \lambda_i \in \IR.
[/mm]
So, nun überleg Dir, welche Möglichkeiten Du hast, eine lineare Abbildung zu definieren mit den Bedingungen oben. Wenig Möglichkeiten, denn
f( [mm] \summe_{i=1}^{4}\lambda_ia_i)= [/mm] ...
Hier mußt Du jetzt die Bedingungen für "lineare Abbildung" ausspielen, und zum Schluß die Vorgabe [mm] f(a_i)=b_i [/mm] berücksichtigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 So 27.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hi Angela,
vielen Dank für deine Antwort. Leider komme ich immernoch nicht richtig vorwärts.
Ich weiß jetzt, dass mein x -wennich die angegebenen Vektoren einsetze folgendermaßen aussieht:
x= [mm] \vektor{\lambda_{1} \\ 0 \\ \lambda_{1} \\ \lambda_{1}} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{2}}+ \vektor{\lambda_{3} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{3} \\ 0}+ \vektor{\lambda_{4} \\ \lambda_{4} \\ 0 \\ \lambda_{4}}
[/mm]
Eine Voraussetzung für meine gesuchte LINEARE Abb ist:
[mm] F(\lambda_{1}(a_{1}, a_{2}, a_{3},a_{4})+ \lambda_{2}(a_{1}, a_{2}, a_{3},a_{4})+ \lambda_{3}(a_{1}, a_{2}, a_{3},a_{4})+ \lambda_{4}(a_{1}, a_{2}, a_{3},a_{4}))= \lambda_{1}F (a_{1}, a_{2}, a_{3},a_{4})+\lambda_{2}F (a_{1}, a_{2}, a_{3},a_{4})+\lambda_{3}F (a_{1}, a_{2}, a_{3},a_{4})+ \lambda_{4}F (a_{1}, a_{2}, a_{3},a_{4})
[/mm]
Ich weiß leider einfach nicht, wie ich an die Sache herangehen muss
;(- ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen. Lieben ank schon einmal im Voraus!!
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> Hi Angela,
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> vielen Dank für deine Antwort. Leider komme ich immernoch
> nicht richtig vorwärts.
> Ich weiß jetzt, dass mein x -wennich die angegebenen
> Vektoren einsetze folgendermaßen aussieht:
> x= [mm]\vektor{\lambda_{1} \\ 0 \\ \lambda_{1} \\ \lambda_{1}}[/mm]
> + [mm]\vektor{0 \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{2}}+ \vektor{\lambda_{3} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{3} \\ 0}+ \vektor{\lambda_{4} \\ \lambda_{4} \\ 0 \\ \lambda_{4}}[/mm]
Das stimmt, aber damit man nicht soviel zu schreiben hat, schreiben wir lieber x= [mm] \lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3+\lambda_4a_4, [/mm] es bleibt dann übersichtlicher.
Nun wenden wir F auf dieses x an, F soll ja linear sein.
[mm] F(x)=F(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3+\lambda_4a_4)
[/mm]
[mm] =F(\lambda_1a_1)+F(\lambda_2a_2)+F(\lambda_3a_3)+F(\lambda_4a_4)
[/mm]
[mm] =\lambda_1F(a_1)+\lambda_2F(a_2)+\lambda_3F(a_3)+\lambda_4F(a_4)
[/mm]
[mm] F(a_i), [/mm] dafür kannst Du ja ganz konkret ewas hinschreiben, das war ja eine Vorgabe.
So. In Deiner Hausübung müßte das jetzt in etwa so stehen:
[mm] a_1,...,a_4 [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Also gibt es für jedes [mm] x\in \IR^3 \lambda_i \in \IR [/mm] , i=1,2,3,4 mit [mm] x=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3+\lambda_4a_4.
[/mm]
Betrachte die Abb F: [mm] \IR^4 \to \IR^3 [/mm]
def. durch [mm] F(x)=F(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3+\lambda_4a_4)= [/mm] s.o.
Diese Abb. liefert [mm] F(a_i)=b_i [/mm] und ist linear.
Dies ist die die einzige Möglichkeit unter den gegebenen Voraussetzungen zu solch einer Abbildung zu kommen, es gibt keine zweite lineare Abb. die's tut, denn eine lineare Abbildung ist bereits durch das Bild einer Basis eindeutig bestimmt, möglicherweise hattet Ihr das schon in der Vorlesung. Fast glaube ich das... Jedenfalls ist das etwas, was man sich uuuuuuuuunbedingt merken muß.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort.
Wenn ich die angegebenen Vektoren [mm] a_{1}=(1,0,1,1)
[/mm]
[mm] a_{2}=(0,1,1,1), a_{3}=(1,1,0,1) [/mm] und [mm] a_{4}= [/mm] (1,1,0,1) einsetze erhalte ich:
[mm] \lambda_{1}F(1,0,1,1)+\lambda_{2}F(0,1,1,1)+\lambda_{3}F(1,1,1,0)+\lambda_{4}F(1,1,0,1) [/mm]
Es ist mir ja schon fast peinlich zu fragen, aber ich weiß leider immernoch nicht, was genau jetzt die Abbildung ist, für die ich [mm] b_{i} [/mm] erhalte. Z.B. [mm] b_{4}=(0,0,7) [/mm] Damit ich die erste 0 enthalte, müsste bspw. [mm] \lambda_{3}= [/mm] -1 und [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 sein, so ergibt 1*1+ [mm] \lambda_{2}0 [/mm] + (-1)(1)= 0. Die zweite Null würde ich durch die Lambdas auch erhalten, wenn [mm] lamdba_{2} [/mm] 0 wäre. Bei der 7 verstehe ich die Welt nich mehr. Ich weiß einfach nicht, wie ich meine Lambdas bestimmen muss, so dass ich alle angegebenen [mm] b_{i}'s [/mm] abbilden kann.
Ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen.
Liebe Grüße und herzlichen Dank;)
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> Hallo Angela,
> vielen Dank für deine Antwort.
> Wenn ich die angegebenen Vektoren [mm]a_{1}=(1,0,1,1)[/mm]
> [mm]a_{2}=(0,1,1,1), a_{3}=(1,1,0,1)[/mm] und [mm]a_{4}=[/mm] (1,1,0,1)
> einsetze erhalte ich:
> [mm]\lambda_{1}F(1,0,1,1)+\lambda_{2}F(0,1,1,1)+\lambda_{3}F(1,1,1,0)+\lambda_{4}F(1,1,0,1)[/mm]
> Es ist mir ja schon fast peinlich zu fragen, aber ich weiß
> leider immernoch nicht, was genau jetzt die Abbildung ist,
> für die ich [mm]b_{i}[/mm] erhalte.
Oh,oh, oh! Die Abbildung F ist es! Was war noch mal F? Für x= [mm] \summe_{i=1}^{4}\lambda_ia_i [/mm] hatten wir F definiert als
[mm] F(\summe_{i=1}^{4}\lambda_ia_i):=\lambda_{1}F(1,0,1,1)+\lambda_{2}F(0,1,1,1)+\lambda_{3}F(1,1,1,0)+\lambda_{4}F(1,1,0,1)
[/mm]
[Für F(1,0,1,1) hatten wir doch die Vorgabe: F(1,0,1,1)=(0,1,2), die anderen entsprechend. Also:]
[mm] =\lambda_{1}(0,1,2)+\lambda_{2}(1,0,2)+\lambda_{3}(1,2,0)+\lambda_{4}(0,0,7).
[/mm]
Das ist die Zuordnungsvorschrift. Wir habeneine Vorschrift, die uns sagt, welchem Wert wir einem x, welches in der der Basis [mm] (a_i [/mm] ) dargestellt ist, zuweisen müssen.
Nun gucken wir mal nach, was wir [mm] a_4 [/mm] zuweisen, was also [mm] F(a_4) [/mm] ist. [mm] a_4=0a_1+0a-2+0a-3+1a_4, [/mm] also ist [mm] F(a_4)=F(0a_1+0a-2+0a-3+1a_4)=0(0,1,2)+0(1,0,2)+0(1,2,0)+1(0,0,7)=(0,0,7)
[/mm]
Siehst Du jetzt, daß [mm] F(a_i)=b_i [/mm] ist?
Gruß v. Angela
Z.B. [mm]b_{4}=(0,0,7)[/mm] Damit ich die
> erste 0 enthalte, müsste bspw. [mm]\lambda_{3}=[/mm] -1 und
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1 sein, so ergibt 1*1+ [mm]\lambda_{2}0[/mm] +
> (-1)(1)= 0. Die zweite Null würde ich durch die Lambdas
> auch erhalten, wenn [mm]lamdba_{2}[/mm] 0 wäre. Bei der 7 verstehe
> ich die Welt nich mehr. Ich weiß einfach nicht, wie ich
> meine Lambdas bestimmen muss, so dass ich alle angegebenen
> [mm]b_{i}'s[/mm] abbilden kann.
>
> Ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen.
>
> Liebe Grüße und herzlichen Dank;)
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