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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Funktion g o f und berechnen Sie die Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix)
[mm] f(x_{1},x_{2},x_{3})=e^{x_{1}}*cos(x_{2})+x_{3}
[/mm]
[mm] g(x)=(sin(x),x^2,7+x^3) [/mm] |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst hoffe ich, alles richtig gemacht zu haben - es ist, wie Ihr sicher an obigem Satz erkennen könnt, mein erster Beitrag in diesem Forum.
Nun zur Frage: ich kann das ganze nachvollziehen bis zum Punkt, an dem ich aus der Vereinigung der beiden Funktionen die Jacobi-Matrix bilden soll.
Ich habe bisher folgendes:
[mm] g\circ f=g(f(x_{1},x_{2},x_{3}))= g(e^{x_{1}}*cos(x_{2})+x_{3})=(sin(e^{x_{1}}*cos(x_{2})+x_{3})),(e^{x_{1}}*cos(x_{2})+x_{3})^2, 7+(e^{x_{1}}*cos(x_{2})+x_{3})^3
[/mm]
wobei ich den Ausdruck
[mm] e^{x_{1}}*cos(x_{2})+x_{3}
[/mm]
durch [mm] \alpha [/mm] ersetzt habe - der Einfachheit halber.
Wie stelle ich nun anhand oben angegebener Funktion eine Jacobi-Matrix auf?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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Die Jacobi-Matrix ist
$ [mm] \pmat{ \bruch{\partial}{\partial x_1}h_1 & \bruch{\partial}{\partial x_1}h_2 & \bruch{\partial}{\partial x_1}h_3 \\ \bruch{\partial}{x_1}h_1 & \bruch{\partial}{\partial x_2}h_2 & \bruch{\partial}{\partial x_2}h_3 \\ \bruch{\partial}{x_3}h_1 & \bruch{\partial}{\partial x_3}h_2 & \bruch{\partial}{\partial x_3}h_3}$
[/mm]
Allerdings mußt du Zeilen und Spalten vertauschen, ich hab das grade falsch eingegeben, wie ich sehe!
Dabei ist h dein länglicher Term. Also, leite jede Komponente von h nach jedem [mm] x_i [/mm] ab, das gibt 9 Ableitungen, die die JM bilden.
Zugegeben, das ist etwas Arbeit...
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Hallo!
danke zunächst für deine Antwort. Leider verstehe ich nicht so ganz was du damit meinst. Könntest Du mir das an meinem Beispiel mal verdeutlichen, indem Du mal ein oder 2 ableitest? Wäre dir wirklich sehr dankbar!
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Hallo!
> danke zunächst für deine Antwort. Leider verstehe ich nicht
> so ganz was du damit meinst. Könntest Du mir das an meinem
> Beispiel mal verdeutlichen, indem Du mal ein oder 2
> ableitest? Wäre dir wirklich sehr dankbar!
Das ist eigentlich ganz einfach. Es ist ja [mm] (sin(e^{x_{1}}\cdot{}cos(x_{2})+x_{3})),(e^{x_{1}}\cdot{}cos(x_{2})+x_{3})^2, 7+(e^{x_{1}}\cdot{}cos(x_{2})+x_{3})^3 [/mm] dein h, und damit dann:
[mm] \underbrace{(sin(e^{x_{1}}\cdot{}cos(x_{2})+x_{3})}_{=h_1},\underbrace{(e^{x_{1}}\cdot{}cos(x_{2})+x_{3})^2}_{=h_2}, \underbrace{7+(e^{x_{1}}\cdot{}cos(x_{2})+x_{3})^3}_{=h_3}
[/mm]
Bildest du jetzt eine der Ableitungen, musst du jeweils jeden Teil nach jeder Variablen ableiten. Also z. B. [mm] h_1 [/mm] nach [mm] x_3 [/mm] abgeleitet sieht dann so aus:
[mm] \bruch{\partial{h_1}}{x_1}=1
[/mm]
der Rest ist ja quasi konstant und fällt beim Ableiten weg.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo moritz123,
So macht die Aufgabe auf jeden Fall keinen sinn da die Dimensionen nicht passen. f bildet von [mm] R^3 [/mm] nach R ab g von R nach [mm] R^3 [/mm] also kann man höchsten f(g(x)) bilden nicht aber g(f(x)).
viele Grüße
mathemaduenn
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