Erste Neumannsche Formel < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sei $A$ ein abgeschlossener Operator in einem Hilbertraum $H$ und es seien $N_i:=ker(A^*-i)$ und $N_{-i}:=ker(A^*+i)$. Dann gilt
$dom(A^*)=dom(A)\dot{+}N_i\dot{+}N_{-i}$,
d.h. jedes Element $u\in dom(A^*)$ hat eine eindeutige Darstellung
$u=u_0+u_++u_-, \ u_0\in dom(A), \ u_{\pm}\in N_{\pm i\$.
Weiterhin gilt
$A^*(u_0+u_++u_-)=Au_0+iu_+ -i u_-$, $u_0\in dom(A),u_{\pm}\in N_{\pm}$. |
Tja, ich habe noch keine Idee, wie man das zeigen könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mo 03.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]A[/mm] ein abgeschlossener Operator in einem Hilbertraum
> [mm]H[/mm] und es seien [mm]N_i:=ker(A^*-i)[/mm] und [mm]N_{-i}:=ker(A^*+i)[/mm]. Dann
> gilt
>
> [mm]dom(A^*)=dom(A)\dot{+}N_i\dot{+}N_{-i}[/mm],
>
> d.h. jedes Element [mm]u\in dom(A^*)[/mm] hat eine eindeutige
> Darstellung
>
> [mm]u=u_0+u_++u_-, \ u_0\in dom(A), \ u_{\pm}\in N_{\pm i\[/mm].
>
> Weiterhin gilt
>
> [mm]A^*(u_0+u_++u_-)=Au_0+iu_+ -i u_-[/mm], [mm]u_0\in dom(A),u_{\pm}\in N_{\pm}[/mm].
>
> Tja, ich habe noch keine Idee, wie man das zeigen könnte.
>
>
1. Du hast vergessen "A symmetrisch" mit in die Vor. aufzunehmen !!
2. Der Beweis ist nicht ganz einfach. Ich halte es für überzogen, so etwas als Übungsaufgabe zu stellen. Der Satz samt Beweis stammt schließlich von Johann von Neumann (ein Genie)
3. Damit Du nicht mit leeren Händen dastehst:
Schau mal in das Buch: J. Weidmann, Lineare Operatoren auf Hilberträumen, Satz 8.11
FRED
|
|
|
| |
|
Vielen Dank, Fred!
Du hast natürlich recht und A muss als symmetrisch vorausgesetzt werden. So ist die eine Richtung ziemlich einfach.
Danke auch für den Literaturtipp. Habe mir das Buch heute gleich ausgeliehen und dort steht in der Tat der Beweis drin. Vielen Dank
|
|
|
|
