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Liebe Mathefreunde.
Ich habe eine Frage bezüglich (einfacher) Mathematik und bin mit nicht sicher ob diese lösbar ist.
Gegeben sind beliebig viele Brüche und die Ergebnisse der Brüche.
a/b = z(1)
a/c = z(2)
b/c = z(3)
a/d = z(4)
b/d = z(5)
c/d = z(6)
.
.
.
x/y = z(n)
Ist es möglich den exakten Wert einer Variable (z.B. a, b, c) auszurechnen? (Alle z sind bekannte positive Zahlen). Wenn es nicht möglich ist, gibt es einen Weg den Wert näherungsweise zu bestimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Do 10.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ohne eine Systematik in den Brüchen wirst du keine Lösung bekommen, fürchte ich.
Du könnest jede Gleichung durch Multiplikation mit dem Nenner auf in eine lineare Gleichung umformen, und dann versuchen, mit einem geeigneten Verfahren dieses Gleichungssystem zu lösen. Ob das von Erfolg gekrönt ist, vermag ich nicht zu beurteilen.
Marius
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Hallo Ottoplusdrei, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
wenn ich Dich recht verstehe - also insbesondere, was da eigentlich gegeben ist -, dann ist eine Lösung möglich.
> Ich habe eine Frage bezüglich (einfacher) Mathematik und
> bin mit nicht sicher ob diese lösbar ist.
>
> Gegeben sind beliebig viele Brüche und die Ergebnisse der
> Brüche.
Das Problem liegt hier im "beliebig viel". Heißt das, dass für jede Kombination der Variablen a bis y der Bruch bekannt ist? Und in welcher Form und Genauigkeit liegen die [mm] z_i [/mm] vor?
> a/b = z(1)
> a/c = z(2)
> b/c = z(3)
> a/d = z(4)
> b/d = z(5)
> c/d = z(6)
> .
> .
> .
> x/y = z(n)
>
>
> Ist es möglich den exakten Wert einer Variable (z.B. a, b,
> c) auszurechnen? (Alle z sind bekannte positive Zahlen).
> Wenn es nicht möglich ist, gibt es einen Weg den Wert
> näherungsweise zu bestimmen?
Wenn "exakter Wert" hier heißt, dass die Variablen a-x rationale Zahlen sind, dann ist es im Normalfall nicht möglich, es sei denn, die [mm] z_i [/mm] sind (sozusagen auf Nachfrage) beliebig genau, eben meinetwegen als dreimillionenstelliger Dezimalbruch gegeben. Selbst dann bleibt eine Unsicherheit. In den reellen Zahlen ist das System aber vollständig lösbar, wenn die [mm] z_i [/mm] nicht widersprüchlich sind und genau eine weitere Information über das von Dir skizzierte Gleichungssystem hinaus vorliegt. Dazu ein einfaches Beispiel:
Nehmen wir mal die ersten drei gegebenen Gleichungen:
1) [mm] \bruch{a}{b}=z_1\ \gdw\ a=z_1*b
[/mm]
2) [mm] \bruch{a}{c}=z_2\ \gdw\ a=z_2*c
[/mm]
3) [mm] \bruch{b}{c}=z_3\ \gdw\ b=z_3*c
[/mm]
Aus 1) und 2) ergibt sich z_1b=z_2c und damit mit 3) auch [mm] z_3=\bruch{z_2}{z_1}.
[/mm]
Das meine ich mit "nicht widersprüchlich".
Nun sind die drei Variablen aber noch nicht bestimmbar, weil es für n Variable nur n-1 Gleichungen gibt.
Daher die Bemerkung über die Zusatzinformation.
Die könnte lauten a=1 oder vielleicht [mm] a-cp+z=\wurzel{5} [/mm] oder was auch immer. Am einfachsten natürlich wäre eine lineare Gleichung.
Grüße
reverend
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Vielen Dank für die bereits geleistete Hilfe.
"Exakter Wert" war ein bisschen schwammig formuliert (je genauer die Werte bestimmt werden können desto besser, aber eine Genauigkeit von 8 Nachkommastellen ist annehmbar).
z(i) ist beliebig genau. Es ist eine Zahl mit 4 Nachkommastellen (z.B. 1,5826).
Deine Umformung zu $ [mm] z_3=\bruch{z_2}{z_1}. [/mm] $ verstehe ich nicht genau, da z1, z2 und z3 ja alle bekannt sind.
Dein Artikel hat mir schoneinmal einen Ansatz gegeben über welchen ich mir heute Abend mehr Gedanken machen werde.
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Hallo nochmal,
> "Exakter Wert" war ein bisschen schwammig formuliert (je
> genauer die Werte bestimmt werden können desto besser,
> aber eine Genauigkeit von 8 Nachkommastellen ist
> annehmbar).
>
> z(i) ist beliebig genau. Es ist eine Zahl mit 4
> Nachkommastellen (z.B. 1,5826).
Was denn jetzt - sind die [mm] z_i [/mm] beliebig genau, oder haben sie eine nur fünfstellige Mantisse? Im letzteren Fall macht es überhaupt keinen Sinn, die Variablen a,b etc. auf 8 Stellen genau zu bestimmen.
> Deine Umformung zu [mm]z_3=\bruch{z_2}{z_1}.[/mm] verstehe ich nicht
> genau, da z1, z2 und z3 ja alle bekannt sind.
Es war der Hinweis darauf, dass Dein Gleichungssystem viele redundante Informationen enthält, ihm aber zur Lösung genau eine fehlt.
Hohe Redundanz ist eher fehlerträchtig. Wenn hier z.B. [mm] z_1=1, z_2=2 [/mm] und [mm] z_3=3 [/mm] ist, ist das Gleichungssystem schon für a,b,c nicht lösbar und damit auch als ganzes nicht.
> Dein Artikel hat mir schoneinmal einen Ansatz gegeben über
> welchen ich mir heute Abend mehr Gedanken machen werde.
Na dann.
Grüße
reverend
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