Ermittlung Maximum und Minimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob die Menge M = [mm] \{2^{-m} + n^{-1} | m,n \in \IN \} \subseteq \IR [/mm] ein Supremum, Infimum, Maximum und Minimum hat, und bestimmen Sie dieses gegebenenfalls. |
Hallo Zusammen,
nach dem Durcharbeiten der Kurseinheit über Maximum, Minimum & Co. dachte ich, ich hätte das Thema soweit verstanden. Nun sitze ich aber vor o.g. Aufgabe und weiß einfach nicht wie ich anfangen soll.
Kann mir jemand einen Tipp für einen Ansatz geben?
Im Voraus vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Lou
Die Aufgabe ist nicht lesbar, steht da wirklich 2-m+n-1=1-m+n ?
was steht vor dem R, und soll da stehen [mm] 2\in\IN [/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
ohje - schon am ersten Beitrag gescheitert....
hatte den Text nur kopiert, sorry.
Also die Aufgabe ist:
Untersuchen Sie, ob die Menge M = [mm] {2^{-m} + n^{-1} | m,n \in \IR } [/mm] ein Supermum, Infimum, Maximum und Minimum hat, und bestimmen Sie dieses gegebenfalls.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
grrr... ich komm mit den Mathezeichen noch nicht zurecht.
m, n sind Elemente der Natürlichen Zahlen und der ganze Ausdruck soll [mm] \subseteq \IR [/mm] sein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Framl |
Hi,
wähle z.B. die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] mit [mm] $a_n=2^{-1}+(1/n)^{-1}$. [/mm] Dann liegt offensichtlich jedes Folgenglied in der Menge $M$ (da [mm] $1/n\in\mathbb{R}$). [/mm] Was passiert jetzt für [mm] $n\to\infty$? [/mm] Was bedeudet das für das Supremum?
Dann betrachte die Folge [mm] $b_n=2^{-1}+(-1/n)^{-1}=\frac{1}{2}-n$. [/mm] Betrachte den Grenzwert und überlege dir, was das für das Infimum bedeudet.
Gruß Framl
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Edit: Dies gilt dann, wenn [mm] $m,n\in\mathbb{R}$ [/mm] sind. Es gilt aber [mm] $m,n\in\mathbb{N}$, [/mm] Antwort dazu siehe unten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
ok, wenn ich 1/n und [mm] 2^{-1} [/mm] wähle, ist 0,5 die untere Schranke und 1,5 die obere Schranke. 1,5 ist gleichzeitig das Maximum sowie das Supremum.
aber kann ich mir die Folge beliebig aussuchen, an der ich meinen Beweis aufbaue?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Framl |
Oh Sorry,
hab die Aufgabe noch mit [mm] $m,n\in \mathbb{R}$ [/mm] gelesen, damit ist die Argumentation Blödsinn.
Wenn [mm] $m,n\in\mathbb{N}$ [/mm] liegen kann man es so machen:
[mm] $2^{-m}$ [/mm] wird maximal, wenn du $m$ möglichst klein wählst, d.h. $m=1$. (Begründung: Die Folge [mm] $2^{-m}$ [/mm] ist mon. fallend). Was passiert für [mm] $n^{-1}$? [/mm] Dies wird ebenso am größten, wenn $n=1$ ist, d.h. der Ausdruck [mm] $2^{-m}+n^{-1}$ [/mm] ist für $m=n=1$ am größten und hat den Wert $1,5$. Da dieser Wert in der Menge liegt ist es Supremum und Maximum.
Die Folgen [mm] $2^{-m}$ [/mm] und [mm] $n^{-1}$ [/mm] sind monoton fallend, d.h. der kleinste Wert wird "im unendlichen" angenommen. Beide konvergieren gegen $0$, d.h. das Infimum liegt bei $0$. Es handelt sich um kein Minimum, da sowohl [mm] $2^{-m}$ [/mm] als auch [mm] $n^{-1}$ [/mm] positiv sind.
Gruß Framl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Framl,
Was machst Du eigentlich ? ???????????????????
es war doch M = $ [mm] \{2^{-m} + n^{-1} | m,n \in \IN \}$. [/mm] Was soll dann $ [mm] \left(\frac{1}{n}\right)^{-1}=n [/mm] $,?????
wir haben [mm] 2^{-m} [/mm] + [mm] n^{-1} \le [/mm] 3/2. Damit ist M nach oben beschränkt und maxM = supM = 3/2
Gibt man [mm] \epsilon [/mm] >0 vor, so ex. n,m [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] 2^{-m} [/mm] + [mm] n^{-1} [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
D.h.: 0 = inf M. Klar: M hat kein Minimum.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Framl |
Hallo Fred,
siehe oben. Aufgabe war erst anders gestellt.
Gruß Framl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Do 27.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
Hallo Framl,
Hallo Fred,
erstmal vielen lieben Dank.
Zum Thema Maximum und Supremum sind wir uns ja schon alle einig 
Das infM = 0 ist verstehe ich auch. Aber nochmal zum Minimum.
Sehe ich das richtig, dass das infM=0 nicht in der Menge liegt. Egal was man für m und n einsetzt wird das Ergebnis sich immer weiter der 0 nähern, sie aber nie erreichen. Und da es dann immer wieder eine kleiner Zahl gibt, habe ich kein Minimum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
So ist es
FRED
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