Erklärung des Ziegenproblemes. < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag,
ich vermute mal, dass alle das sogenannte "Ziegenproblem" bzw. das "Drei-Türen-Problem" kennen.
wenn nicht => http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
um "Erklärung" genauer zu definieren:
ich verstehe nicht so recht: wenn der Moderator ein Tor aufgedeckt hat, hinter dem sich eine Ziege versteckt, und man nur noch die anderen beiden Tore zur auswahl hat, in denen sich jeweils ein Auto und eine Ziege verstecken, wäre da die Wahrscheinlichkeit nicht 1/2.
in allen anderne Erklärung steht eine Chance von 2/3.
ich hoffe auf aufschlussreiche und schnelle Antworten.
Gruß Flavorlight.
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Hallo,
bist du wirklich in der 8ten Klasse? Wenn ja, wirst du vermutlich noch nichts mit bedingten Wahrscheinlichkeiten bzw. dem Satz von Bayes und dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit zu tun gehabt haben, oder ?
Ich versuche es mal:
Nehmen wir o.B.d.A an, dass A,B,C die Ereignisse sind, die korrespondieren mit: "der preis ist hinter der gewählten, göffneten und übrig-gebliebenen Tür".
Sei [mm] M_B [/mm] das Ereignis, dass der Moderator die Tür B öffnet. Lass uns Tür A gewählt haben. Zu vergleichen sind jetzt die Wahrscheinlichkeiten:
(I) [mm] P(A|M_B) [/mm] und (II) [mm] P(C|M_B) [/mm] . Wobei (I) meint, dass wir bei unserer Entscheidung, also A bleiben und (II) heißt, dass wir wechseln. Das sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. (I) bedeutet dann : Die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis hinter Tür A ist, vorausgesetzt der Moderator öffnet Tür B.
[mm] P(A)=P(B)=P(C)=\bruch{1}{3} [/mm] , da erstmal alle Türen mit gleicher Wahrscheinlichkeit den Preis verbergen.
Gegeben sind uns jetzt folgende Wahrscheinlichkeiten (das ist nicht ganz offensichtlich):
[mm] P(M_B|A)=\bruch{1}{2} [/mm] , die Wahrscheinlichkeit, dass er B öffnet unter der Vorraussetzung, dass der Preis hinter A ist und wir auch A gewählt haben, ist [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] denn er könnte ja auch C öffnen.
[mm] P(M_B|B)=0 [/mm] , da er ja eine Tür öffnet, hinter der kein Preis ist. B bleibt also zu, wenn der Preis dahinter ist
[mm] P(M_B|C)=1 [/mm] . Angenommen der Preis ist hinter C und wir haben A gewählt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass er C öffnet =1 , da er weder die von uns gewählte Tür, noch die mit dem Preis öffnet.
Nun kommt der Satz von Bayes und der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ins Spiel:
[mm] P(A|M_B)=\bruch{P(M_B|A)*P(A)}{P(M_B)}=\bruch{P(A|M_B)*P(A)}{P(M_B|A)*P(A)+P(M_B|B)*P(B)+P(M_B|C)*P(C)}=\bruch{\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}}{\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}+0*\bruch{1}{3}+1*\bruch{1}{3}}=\bruch{1}{3}
[/mm]
Gleiches kannst du nun für [mm] P(C|M_B) [/mm] tun und wirst [mm] \bruch{2}{3} [/mm] erhalten, mit anderen Worten, es ist vorteilhaft die Tür zu wechseln.
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mi 02.06.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo nochmal,
zur Erklärung o.B.d.A beduetet : "Ohne Beschränkung der Allgemeinheit/Allgemeingültigkeit" .
LG
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Nein, ich gehe in die 5. Klasse, jedoch habe ich mich schon immer für etwas "schwierigere" Mathematik interissiert, da das andere zu leicht ist.
Habe den Text jetzt auch nach mehrmaligem Lesen und etwas Hilfe von meinem Vater verstanden. vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Gruß Flavorlight.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Mi 02.06.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
das ist aber schon recht beeindruckend... In der 5ten Klasse. Das ist eigentlich Oberstufenstoff, der nichtmal zwangsläufig im Abitur (zumindest in Niedersachsen) thematisiert wird...
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Do 03.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo flavorlight,
wenn Dein Vater Dir beim Verständnis der Antwort helfen konnte, bist Du wahrscheinlich ziemlich "mathematisch vorbelastet". Schön, dass Du nach Wegen und Aufgaben suchst, um Dein Interesse zu wecken und vielleicht manchmal auch zu befriedigen.
Es gibt einige Gebiete der Mathematik, die an der Schule keine oder kaum eine Rolle spielen, die gut geeignet sind, eine spannende Beschäftigung mit ihnen zu bieten, ohne dass man sich dann in der Schule noch mehr langweilen muss.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung gehört dazu, obwohl sie zum Schulstoff gehört (je nach Lehrplan etwa in der 7. und 10. Klasse, auch in der Oberstufe). Dort kommt sie aber nur in Grundzügen vor. Das Ziegenproblem gehört zu den berühmten Problemen, weil es so einfach zu formulieren ist, aber trotzdem mit dem "gesunden Menschenverstand" nicht korrekt zu lösen ist. Erst der vollständige Ereignisbaum zeigt, dass das Bauchgefühl völlig danebenliegt.
Andere Gebiete der Mathematik, die man sich ziemlich weit selbständig erarbeiten kann und die nicht mit dem Schulstoff kollidieren, sind die Zahlentheorie und die Topologie. Auch die Graphentheorie, manche Bereiche der theoretischen Informatik (z.B. alles im Umfeld der P=NP?-Frage) oder die Knotentheorie sind so eigenständig, dass sie über ihre eigenen Mittel hinaus - die recht umfangreich sein können! - kaum Schulmathematik benötigen. Geometrisch interessant und doch eigenständig sind z.B. Parkettierungen, aber auch mehrdimensionale Strukturen. Sie kommen an der Schule nicht vor.
Wenn Du Dich in einem dieser Bereiche engagieren willst, dann schau Dich um und hol Dir Hilfe in einem Forum wie diesem. Finde heraus, welches Dir am besten hilft. Ich bin sicher, dass wir uns dann wieder hier treffen, aber ich mag mich irren. Das ist eine urmathematische Gefahr...
In jedem Fall: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Herzliche Grüße
reverend
PS: Ich nehme an, die DGHK ist Dir längst bekannt, oder?
edit - PPS: Ich vergaß, die Kombinatorik zu erwähnen, und mit der Zahlentheorie auch die Kryptographie, dabei sind gerade diese beiden echte außerschulische Klassiker. Pardon.
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freundliches Forum :)
vielen dank für die Antwort.
ja, die DGhk ist mir bekannt.
jedoch war dies vorher nicht
möglich, wohnort bedingt. Jedoch ziehen wir bald um, villeicht kann ich dann die Schule wechseln :)
Meine Lehrer haben meinen Eltern schon mehrere male
vorgeschlagen, dass ich Klassenstufen überspringen sollte,
die wollen das aber nicht.
Oke.
grüße Flavorlight.
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