Erklärung Benford-Gesetz < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ersteinmal vielen Dank Stefan für die "log-Erklärung",welche mir hinsichtlich des Kolloquiums sicherlich von Bedeutung sein wird.
Allerdings habe ich nun eine weitere Frage.Ein weiterer Teil meiner Aufgabenstellung lautete:überprüfen sie die Gültigkeit des Benford-Gesetzes an einem Bsp. ihrer Wahl.Ich habe dies am Beispiel von Aktienkursen überprüft,welche auch....nicht anders zu erwarten....sich stark der optimalen Benfordverteilung annähern.Aber eben nur STARK ANNÄHERN.Es läuft also alles auf einen Signifikanztest hinaus.Ich weiß allerdings nicht wie ich diesen(ich habe im Internet etwas über einen CHI-Quadrat-Test gelesen)hier durchzuführen habe.Ein Mathestudent sagte mir dass dieses Gebiet der Signifikanztest nicht mehr für einen Grundkursschüler geeignet seien,allerdings ist meine Prüferin sehr genau und aus diesem Grund wollte ich fragen ob jemand solche Tests durchführen kann.....damit man wenigstens merkt dass ich mit dieser Frage auseinandergesetzt habe.
Die Daten der Aktienkurse:
Ziffer relative Wkeit(%) optimale Benford-Vert.(%)
1 31.314 30.1
2 19.031 17.6
3 13.321 12.5
4 7.439 9.7
5 6.401 7.9
6 8.313 6.7
7 4.152 5.8
8 5.882 5.1
9 4.322 4.6
Ich wäre sehr glücklich wenn mir hierbei jemand helfen könnte.Mit lieben Grüßen Siri-Véronique
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Siri-Véronique!
Den [mm] $\chi^2$-Test [/mm] mache ich sogar in meinen Kursen mit Schülerinnen und Schülern der 9. Klasse, und die verstehen das sehr gut. Er ist also auf jeden Fall für Grundkurs-Oberstufenschüler geeignet.
Wie viele Aktien hast du denn untersucht?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Psychoicon |
Wenn Du vielleicht einen Chi-Quadrat Test durchführen möchtest kannst Du das z.B mit Excel machen. Wenn Du auf Hilfe gehst und Chitest eingibst wird Dir erklärt wie das durchzuführen ist. Je kleiner der angebene Chi-Quadrat Wert dann ist, um so besser stimmt die Stichprobe mit der vorgebenen Verteilung überein.
Viel Spaß beim probieren!
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Hallo Stefan,hallo psychoicon,
vielen Dank für eure schnelle Antwort.Na dann denke/hoffe ich mal dass ich das wohl auch hinbekommen werde.Psychoicon meinte das mir dieser Test auch bei Excel erklärt würde,das werde ich jetzt mal ausprobieren.
Ich habe den Test der benfordschen Gültigkeit an 578 Aktienkursen(Zahlen)durchgeführt.Spielt das eine bedeutende Rolle????
Liebe Grüße und vielen Dank für eure Hilfe Siri-Véronique
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Siri-Véronique!
Ja, man benötigt die Stichprobenzahl, weil man in der Testgröße mit den absoluten Häufigkeiten rechnet und nicht mit den relativen.
Rechne bitte die folgende Größe aus
[mm] $\chi^2 [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^9 \frac{(n \cdot h_i - n \cdot p_i)^2}{n \cdot p_i}$,
[/mm]
wobei [mm] $h_i$ [/mm] die relative Häufigkeit ist, mit der die Ziffer $i$ gemessen wurde, und [mm] $p_i$ [/mm] die angenommene Wahrscheinlichkeit (also die Benford-Zahl).
Nun suchst du dir ein Signifikanzniveau aus und schaust in ![[]](/images/popup.gif) dieser Tabelle nach in der Zeile mit den $8$ Freiheitsgraden.
Ja, wirklich $8$ Freiheitsgrade, nicht $9$!!
Wo liegt dein Wert [mm] $\chi^2$, [/mm] den du eben errechnet hast? Liegt er in dem von dir vorher durch die Festlegung auf ein Signifikanzniveau bestimmten Konfidenzintervall?
Wenn ja, dann kannst du die Hypothese, dass deine Zahlen nicht dem Benforschen Gesetz genügen. nicht verwerfen (was ja gut für dich ist!  ).
Wenn du mehr (Schülergerechtes!) über den [mm] $\chi^2$-Test, [/mm] vor allem die Motivation dahinter, lesen willst, kannst du das ja in meinem Skript tun (ab Seite 46 in der skriptinternen Zählung), auch wenn dort noch einige Fehler drin sind (es ist nicht die aktuellste Fassung, aber es sollte dir genügen). Wie gesagt, den Kurs halte ich normalerweise mit Schülerinnen und Schülern ab der 9. Klasse, und die verstehen den [mm] $\chi^2$-Verteilungstest [/mm] (dann) auch. Allerdings lesen die das natürlich nicht im Skript nach, sondern ich trage es mündlich am Smartboard vor.
Liebe Grüße
Stefan
P.S. Ich sehe gerade, dass geht wirklich ganz gut mit Excel. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Über
CHITEST(Anfangszelle der Häufigkeiten:Endzelle der Häufigkeiten,Anfangszelle der erwarteten Häufigkeiten:Endzelle der erwarteten Häufigkeiten)
Aber schöner ist es natürlich ein eigenes "Programm" zu schreiben anstatt die vorgegebenen Funktionen zu benutzen. Hmmh, ich werde das beim nächsten Kurs integrieren. 
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Vielen Dank Stefan für die gründliche oder besser exakte Erklärung.Allerdings klappt der link in "mein skript"nicht....hätte mir das mal gerne angesehen.
Jedenfalls vielen Dank für die schnelle Antwort,welche mir sehr geholfen hat.
Grüße Siri-Véronique
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Hallo Stefan,ich habe jetzt den Test durchgeführt.Allerdings liegt mein chi-Quadrat mit 11,208 zwischen 0,5 und 0,9 Prozent .Ich weiß daher nicht zu welchem ich tendieren soll....die goldene mitte darf ich ja wohl nicht einfach wählen???!!!??
Gibt es also keine genauere Angabe für mich,als zu wissen dass dieser Datensatz zwischen 50 bzw 90 % benfordverteilt ist?????
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Liebe Grüße und für deine Hilfe vielen Dank,
siri-véronique
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Hallo Stefan,ich habe zusätzlich nochml eine ganz andere Frage.Ich habe eine PRIVATE Nachricht erhalten.Aufgrund dieser "rechtsradikalen Virensache"weiß ich nicht ob ich diese öffnen kann......andererseits vielleicht enthält sie interessantes zum Thema Benford oder so.
Vielen Dank für eine Antwort hierauf.
Grüße Siri-Véronique
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Siri-Veronique!
Bitte stelle doch Rückfragen zu einer bestehenden Aufgabe auch immer im entsprechenden Thread und eröffne nicht dafür einen neuen Thread.
Für das Nachvollziehen macht das die Sache nämlich um einiges leichter!
Danke und Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:08 Di 17.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Siri-Véronique!
Die Aussage, die du jetzt treffen kannst, ist die folgende:
Selbst, wenn du den Test "sehr riskant" angelegt hättest, nämlich so, dass in 10% der Fälle echte Benford-Zahlen zu Unrecht nicht als solche erkannt werden, hätten deine Aktienzahlen den [mm] $\chi^2$-Test [/mm] bestanden und die Hypothese, dass es Benford-Zahlen sind, hätte nicht verworden werden können.
Du hast damit zwar nicht gezeigt, mit welcher Wahrscheinlichkeit deine Zahlen Benford-Zahlen sind, aber du hast die Hypothese, dass sie Benford-Zahlen sind, (zum Glück!) nicht verwerfen können.
Ist doch was! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
entschuldige,aber ich habe nochmal eine rückfrage,da mir das immer noch nicht ganz klar ist.
Ich verstehe dass die Hypothese lautet,dass KEINE benfordzahlen vorliegen und es ziel ist,eben diese hypothese zu verwerfen.Mir ist dies offenbar,laut deiner letzten mail,mit einem 10%igen Signifikanzniveau gelungen.FAZIT zu 90% sind meine Zahlen benfordzahlen?!?
oder was genau bedeuten diese 10%,und wo kann man diese aus der "Freiheitsgradtabelle"herausziehen??was bedeutet die Wahrscheinlichkeit p in der Tabelle ist es die Irrtums- oder die Annahmewk.
Es tut mir leid,aber irgendwie kann ich diese Tabelle nicht ganz greifen,denn eigentlich müssten die kleineren Zahlen doch "positiv" sein,da dann die Abweichung von den optimalen Benfordzahlen am geringsten ist(laut der Formel).
Für eine schnelle Antwort wäre ich sehr dankbar,da ich meinen Vortrag bereits donnerstag halte.
Mit lieben Grüßen und großem Dank Siri-Véronique
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Di 17.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Siri-Veronique!
Beim letzten Mal habe ich es nicht gut erläutert (und jetzt noch einmal editiert). Wir sollten beim eigentlichen [mm] $\chi^2$-Test [/mm] und dessen Nullhypothese bleiben, das hast du völlig Recht! ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Die (Null-)Hypothese lautet:
Unsere Zahlen sind Benford-Zahlen.
Wir "wollen" (sofern man in der Statistik etwas wollen darf), dass diese (Null-)hypothese nicht widerlegt wird.
Nun wählen wir uns ein Signifikanzniveau aus, etwa [mm] $\alpha=0.1$.
[/mm]
Dies bedeutet: In 10% der Fälle, wird die Nullhypothese verworden, obwohl Benford-Zahlen vorliegen. Dies ist ein sehr hohes Signifikanzniveau! Es ist riskant insofern als dass du damit rechnen musst, dass deine Zahlen nicht als Benford-Zahlen erkannt werden. Andererseits kannst du dann "sicherer" sein (bei so einem hohen Niveau), dass deine Zahlen Benford-Zahlen sind, wenn die Hypothese nicht abgelehnt wird (wie sicher du dir genau sein kannst, d.h. wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist, kann ich dir hier gerade nicht sagen).
So, und jetzt rechnest du [mm] $\chi^2$ [/mm] aus. Richtig: Hohe Werte von [mm] $\chi^2$ [/mm] sind schlecht, niedrige Werte gut. Wenn die Werte so hoch sind, dass die Wahrscheinlichkeit für so hohe Werte unter 10% liegen (und damit die Wahrscheinlichkeit für niedrigere Werte über 90%, gesetzt den Fall, es handelt sich um Benford-Zahlen), dann lehnen wir unsere Hypothese ab.
Das war bei dir aber nicht der Fall. Dein Wert war ja unter dem 90%-Quantil.
Daher hast du Glück gehabt: Gegen deine Hypothese, dass deine Zahlen Benford-Zahlen sind, kann nichts vorgebracht werden.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
ich wollte mich ganz herzlich für Deine geduldige Hilfe bedanken.Sie hat mich im Thma Signifikanztest ein großes Stück weiter gebracht.
Vielen Dank dafür und liebe Grüße Siri-Véronique
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