Erhaltungsgröße < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist ein Potential U ( r , [mm] \phi [/mm] , z ) = f(r) ( Zylinderkoordinaten) in dem sich ein Teilchen der Masse m bewegt. Es sollen 3 Erhaltungsgrößen angegeben werden und erläutert werden aus welchen Symmetrie-Tranformationen diese aus dem Noether-Theorem folgen. |
Ich weiss leider nicht genau über welchen Weg ich die Sache angehen soll. Zunächst hab ich mir mal das Nothertheorem angeschaut und mir gedacht, dass ich zunächst die Lagrangefunktion brauche. Dafür brauche ich ja nur die kin Energie in Zylinderkoordinaten.
Diese hab ich mir dann zu T = [mm] \bruch{m}{2} [/mm] (r´² + [mm] r²*\phi [/mm] ´ + z´ ²) hergeleitet. Damit folgt meine Lagrangefunktion zu L = T - U = [mm] \bruch{m}{2} [/mm] (r´² + [mm] r²*\phi´ [/mm] + z´²) - U ( r , [mm] \phi [/mm] , z ). Jetzt Frage ich mich, wie soll ich weiter machen? Hätte ich jetzt irgendwelche Transformationen gegeben, wüsste ich wie ich mit Noether an die Sache rangehe. So ist mir das allerdings rätselhaft. Was muss für meine Erhaltungsgröße gelten? Muss die totale Ableitung = 0 sein? Wie sieht die Bediengung explizit aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 So 01.04.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
ganz allgemein gilt doch: Aus jeder Symmetrie folgt eine Erhaltungsgroesse.
Hier ist das Potential z.B. unabhaengig von der Hoehe [mm]z[/mm], so dass schonmal eine Erhaltungsgroesse daraus folgt, denn die Symmetrie-Operation [mm]z\rightarrow z+\delta z[/mm] aendert das Potential ja nicht (und da in der kin. Energie nur die Zeitableitung von [mm]z[/mm] vorkommt, ist die Wirkung invariant unter dieser Transformation, was ja das 'entscheidende' fuer das Noether-Theorem ist).
Auch ist das Potential unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm], so dass auch daraus eine Erhaltungsgroesse folgt.
Dass dort etwas erhalten ist, folgt sogar schon aus den Eueler-Lagrange-Gleichungen, die ja lauten
[mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}[/mm]
Und da die Lagrange-Funktion [mm] $\mathcal [/mm] L$ eben unabh. von $z$ z.B. ist, gilt eben, dass [mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q_i}} [/mm] =0$, was eben
ein 'Spezialfall' des Noethertheorems ist.
LG
Kroni
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danke für deine ausführliche Antwort. also ich fass das nochmal zusammen, vom Prinzip her.
Zunächst schaut man sich an welche kin. Energie sich ergibt, damit man damit die Lagrange Funktion kennt. Dann schaut man sich an, von welchen Größen die Lagrange Funktion gerade nicht abhängt,sprich das Potential wird nur durch "r" geändert und die kin Energie nur durch "r" und die zeitliche Ableitung von "r" , [mm] "\phi" [/mm] und "z". Also haben wir als Schnitt [mm] "\phi" [/mm] , "z" von denen die Lagrange Funktion nicht abhängt.
Du meintest man kann das schon aus den Euler Lagrange Gleichungen sehen. In unserem Fall von "z" wäre dann der Term [mm] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{z}} [/mm] =0 oder halt direkt der Term [mm] \frac{\partial \mathcal L}{\partial {z}} [/mm] =0
Wobei man das ja lieber mit dem zweiten Term direkt zeigen würde, als die totale zeitliche Ableitung zusätzlich zu bilden oder?
Naja gut, also wenn ich die Größen gefunden habe unter denen das System invatiant ist, kann ich dann direkt mit Nother die Erhaltungsgröße ausrechnen oder?
Wie würde ich das genau machen? Oder kann ich ganz sicher sagen, wenn sich unter dem Winkel nichts ändert ist die Erhaltungsgröße der Drehimpuls, bei Translation Impulsund bei Zeitinvarianz die Energie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Mo 02.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke für deine ausführliche Antwort. also ich fass das
> nochmal zusammen, vom Prinzip her.
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> Zunächst schaut man sich an welche kin. Energie sich
> ergibt, damit man damit die Lagrange Funktion kennt. Dann
> schaut man sich an, von welchen Größen die Lagrange
> Funktion gerade nicht abhängt,sprich das Potential wird
> nur durch "r" geändert und die kin Energie nur durch "r"
> und die zeitliche Ableitung von "r" , [mm]"\phi"[/mm] und "z". Also
> haben wir als Schnitt [mm]"\phi"[/mm] , "z" von denen die Lagrange
> Funktion nicht abhängt.
>
> Du meintest man kann das schon aus den Euler Lagrange
> Gleichungen sehen. In unserem Fall von "z" wäre dann der
> Term [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{z}}[/mm]
> =0 oder halt direkt der Term [mm]\frac{\partial \mathcal L}{\partial {z}}[/mm]
> =0
>
> Wobei man das ja lieber mit dem zweiten Term direkt zeigen
> würde, als die totale zeitliche Ableitung zusätzlich zu
> bilden oder?
>
> Naja gut, also wenn ich die Größen gefunden habe unter
> denen das System invatiant ist, kann ich dann direkt mit
> Nother die Erhaltungsgröße ausrechnen oder?
> Wie würde ich das genau machen? Oder kann ich ganz sicher
> sagen, wenn sich unter dem Winkel nichts ändert ist die
> Erhaltungsgröße der Drehimpuls, bei Translation Impulsund
> bei Zeitinvarianz die Energie?
Du hast es nicht ganz verstanden: Da die Lagrangefunktion nicht von z abhängt, ist [mm]\frac{\partial \mathcal L}{\partial {z}}=0[/mm]. Aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgt
[mm] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{z}} = 0 [/mm] ,
und das bedeutet, dass [mm]\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{z}}[/mm] zeitlich konstant ist. Also ist der verallgemeinerte Impuls
[mm]\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{z}}[/mm]
eine Erhaltungsgröße.
Wie Kroni schon schrieb, ist dies ein Spezialfall des Satzes von Emmi Noether: hängt die Lagrangefunktion nicht explizit von einer Koordinate ab, so ist der zu dieser Koordinate gehörende verallgemeinerte Impuls eine
Erhaltungsgröße.
Viele Grüße
Rainer
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danke rainer, das hab ich soweit verstanden.
allerdings ist der verallgemeinerte Impuls ja nicht die einzige erhaltungsgröße in dem system was wir hier vorliegen haben oder?
ich hatte mit dem Noether Theorem z.b mal ausgerechnet dass bei einer Winkelveränderung das System invariant ist und der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist.
Muss ich denn um alle Erhaltungsgrößen zu kennen mit Noether rumrechnen?
Wäre schön wenn ihr mir mal alle Erhaltungsgrößen auf meine Aufgabe bezogen angeben könntet,die existieren, damit ich das mal vernünftig im Kopf einordnen kann.
Sofern euch das nicht zuviel Arbeit ist.
Danke Danke für eure Hilfe soweit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 02.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke rainer, das hab ich soweit verstanden.
> allerdings ist der verallgemeinerte Impuls ja nicht die
> einzige erhaltungsgröße in dem system was wir hier
> vorliegen haben oder?
Es gibt hier drei generalisierte Koordinaten $r$, $z$, und [mm] $\varphi$, [/mm] also auch drei generalisierte Impulse [mm] $p_r$, $p_z$, [/mm] und [mm] $p_\varphi$. [/mm] Da $z$ und [mm] $\phi$ [/mm] nicht explizit in der Lagrangefunktion vorkommen, sind schon mal [mm] $p_z$ [/mm] und [mm] $p_\varphi$ [/mm] Erhaltungsgrößen.
> ich hatte mit dem Noether Theorem z.b mal ausgerechnet
> dass bei einer Winkelveränderung das System invariant ist
> und der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist.
Ich nehme an, du meinst die Drehung um die z-Achse, die zugehörige Erhaltungsgröße ist
[mm] p_\varphi = \bruch{\partial L}{\partial \dot\varphi} = mr^2\dot\varphi [/mm] .
Das ist die Drehimpulskomponente in z-Richtung.
> Muss ich denn um alle Erhaltungsgrößen zu kennen mit
> Noether rumrechnen?
Nein. Zwei von drei hast du ja schon, ohne groß zu rechnen. Was ist denn in einem konservativen System noch konstant?
Viele Grüße
Rainer
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naja die Gesamtenergie dürfte erhalten bleiben oder?aber woher weiss ich das es ein konservatives System ist?wird das erstmal bei allen Systemen vorrausgesetzt solange man nichts anderes behauptet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Di 03.04.2012 | | Autor: | chrisno |
Es wird ja Potential genannt. Damit sollte es wirbelfrei sein. Das kannst Du ja nachprüfen.
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Hallo, also wie du richtig sagst, muss die totale Zeitableitung Null sein. Jetzt gilt es, eine Symmetrietransformation zu finden, es stehen z.B. Translations- und Rotationssymmetrie zur Verfügung. Ich glaube,
[mm] \gamma: [/mm] z [mm] \to [/mm] z + s*n
wobei n ein beliebiger Vektor und [mm] s\in \IR [/mm] müsste funktionieren, da der Impuls für dieses System erhalten ist. Das prüfst du nach, indem du
[mm] d/dt({\partial{L}/\partial{x'}*\partial{\gamma}/\partial{s}})=0 [/mm]
überprüfst. (n ist beliebig). Damit hast du schon mal eine Erhaltungsgröße mit Erklärung und Transformation.
Hoffe, das hilft dir wenigstens ein bisschen.
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