Erhaltunggsgroessen < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Punktmasse m gleitet unter Einfluss der Schwerkraft reibungsfrei auf der Innenseite eines Kreiskegels (umgedrehte Schultüte).
Wir wählen die Zylinderkoordinaten [mm] r,\phi,z.
[/mm]
Stellen Sie die Lagrangefunktion auf. Welches sind die Erhaltungsgrößen. Wie lautet das Integral von [mm] \phi(t) [/mm] und r(t) unter Verwendung der Erhaltungsgrößen? |
Hallo,
Lagrangefunktion und Bewegungsgleichungen habe ich augfgestellt. Diese sind, wenn man die Zwangsbedingung [mm] z=r\cot\alpha [/mm] benutzt:
[mm] L=\frac{m}{2}(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\phi}^{2}+\dot{r}^{2}\cot^{2}\alpha)-mgr\cot\alpha.
[/mm]
Bewegungsgleichungen:
[mm] \ddot{r}=\frac{r\dot{\phi}^{2}-g\cot\alpha}{1+\cot^{2}\alpha} [/mm] und [mm] \ddot{\phi}=-\frac{\dot{r}}{r}\dot{\phi}.
[/mm]
Jetzt zu den Erhaltungsgrößen. Da [mm] \phi [/mm] zyklisch ist, ist [mm] p_{\phi} [/mm] eine Erhaltungsgröße. Es muss noch eine geben. Aber welche ist das? Ich meine L ist ja schon von t abhängig. Und wie soll das dann am Ende mit den Integralen aussehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Di 15.02.2011 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
da dort doch etwas von 'reibungsfrei' steht, sollte es auch noch sowas wie 'Energieerhaltung' geben, d.h. [mm] $E_\text{kin}+E_\text{pot} [/mm] = [mm] \text{const}$. [/mm]
Wenn du dann die Erhaltungsgroessen kennst, kannst du diese in die Bewegungsgleichungen einsetzten und dadurch das Loesen der Integrale vereinfachen, die auftreten werden, um $r(t)$ und [mm] $\varphi(t)$ [/mm] zu berechnen.
Denn du weist dann z.B., dass
[mm] $p_\varphi \sim \dot\varphi [/mm] $ eine Konsante ist, d.h. du kanst alle Zeitableitungen von [mm] $\varphi$ [/mm] durch diese Konsante und $m$ und $r$ ausdruecken, was die Loesung der DGL einfacher macht (hoffentlich).
LG
Kroni
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Ok. Es ist ja [mm] p_{\phi}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}}=mr^{2}\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}=\frac{p_{\phi}}{mr^{2}}.
[/mm]
Was mach ich mit der Energie? Es ist [mm] E=\frac{m}{2}(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\phi}^{2}+\dot{r}^{2}\cot^{2}\alpha)+mgr\cot\alpha. [/mm]
Egal wie ich das bisher umgeformt und eingesetzt habe, es hat mir nichts gebracht. Immer bleibt in der [mm] \phi [/mm] Bewegungsgleichung noch das r drin. Übersehe ich da was? Diese ganze Rumschieberei ist nicht so meine Stärke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Mi 16.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok. Es ist ja [mm]p_{\phi}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}}=mr^{2}\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}=\frac{p_{\phi}}{mr^{2}}.[/mm]
>
> Was mach ich mit der Energie? Es ist
> [mm]E=\frac{m}{2}(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\phi}^{2}+\dot{r}^{2}\cot^{2}\alpha)+mgr\cot\alpha.[/mm]
>
> Egal wie ich das bisher umgeformt und eingesetzt habe, es
> hat mir nichts gebracht. Immer bleibt in der [mm]\phi[/mm]
> Bewegungsgleichung noch das r drin. Übersehe ich da was?
> Diese ganze Rumschieberei ist nicht so meine Stärke.
Du kennst bereits [mm] $\dot{\phi}$, [/mm] also setzt du das in die Gleichung für die Energie ein. Und schon sind die Variablen getrennt.
Übrigens: [mm] $1+\cot^2\alpha [/mm] = [mm] sin^{-2}\alpha$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Di 15.02.2011 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Bewegungsgleichungen:
>
> [mm]\ddot{r}=\frac{r\dot{\phi}^{2}-g\cot\alpha}{1+\cot^{2}\alpha}[/mm]
> und [mm]\ddot{\phi}=-\frac{\dot{r}}{r}\dot{\phi}.[/mm]
Die Bewegungsgleichung ist:
[mm] $\ddot{\phi}=-\frac{{\color{red}2}\dot{r}}{r}\dot{\phi}$
[/mm]
Gruß,
notinX
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