Ergänzung zu Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Sa 16.07.2005 | | Autor: | papi84 |
Hallo :)
ich habe ein bisschen mit Vektorrechnung zu tun,abe r ich kann etwas nicht verstehen und zwar ....wie kann man n-Vektoren zu einer Basis ergänzen. Ich habe etwas gelesen über Austauschsatz von Steinitz aber ich habe keine Ahnung wie ich das anwenden kann. z.B. ich habe die folgende Aufgabe:
3 Vektoren sind gegeben [mm] b_{1}= \vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \\ -2}, b_{2}= \vektor{0 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \\ 4}, b_{3}= \vektor{0 \\ 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0}, [/mm]
man prüfe für lin.Abhängigkeit und ergänze sie zu einer Basis in [mm] R^{5} [/mm] und wie lautet die darstellung des Vektors [mm] c=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] in der neuen Basis???
soo,ich habe bewiesen, dass die 3 vektoren nur die trivialle Lösungen haben =>lin.unabhängig
es gibt kein Ausgangsvektor , so ich vermute wir müssen die Einheitsvektoren nehmen(e1...e5).nach satz von Steinitz habe ich ersetzt b1 gegen e1, b2 gegen e2 und b3 gegen e3 und bekommen:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 & -3 & -2\\ 0 & 1/3 & 2/3 & 0 &2/3 \\ 0 & 1/2 & 1 & -1/2 & 0 } [/mm]
soo, ich vermute ,dass die neue Basis in [mm] R^{5} [/mm] ist :
[mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1 \\ -3 \\ -2}, \vektor{0 \\ 1/3 \\ 2/3 \\ 0 \\ 2/3}, \vektor{0 \\ 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \\0}, e_{4}, e_{5} [/mm] ......kann jemand mir sagen ,ob das richtig ist und wenn nein wiesoo?? und wie lautet die Darstellung des Vektors C in der neuen Basis ????
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Hallo!
Zuerst mal möchte ich dich bitten, deine Fragen doch im richtigen Forum zu stellen! Das hier ist mit Sicherheit keine Schul-Aufgabe!!!
> Aufgabe:
> 3 Vektoren sind gegeben [mm]b_{1}= \vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \\ -2}, b_{2}= \vektor{0 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \\ 4}, b_{3}= \vektor{0 \\ 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0},[/mm]
> man prüfe für lin.Abhängigkeit und ergänze sie zu einer
> Basis in [mm]R^{5}[/mm] und wie lautet die darstellung des Vektors
> [mm]c=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm] in der neuen Basis???
> soo,ich habe bewiesen, dass die 3 vektoren nur die
> trivialle Lösungen haben =>lin.unabhängig
> es gibt kein Ausgangsvektor , so ich vermute wir müssen
> die Einheitsvektoren nehmen(e1...e5).nach satz von Steinitz
> habe ich ersetzt b1 gegen e1, b2 gegen e2 und b3 gegen e3
> und bekommen:
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 & -3 & -2\\ 0 & 1/3 & 2/3 & 0 &2/3 \\ 0 & 1/2 & 1 & -1/2 & 0 }[/mm]
> soo, ich vermute ,dass die neue Basis in [mm]R^{5}[/mm] ist :
> [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 1 \\ -3 \\ -2}, \vektor{0 \\ 1/3 \\ 2/3 \\ 0 \\ 2/3}, \vektor{0 \\ 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \\0}, e_{4}, e_{5}[/mm]
> ......kann jemand mir sagen ,ob das richtig ist und wenn
> nein wiesoo?? und wie lautet die Darstellung des Vektors C
> in der neuen Basis ????
Also, mit diesem Satz kenne ich mich im Moment nicht aus, aber ob das ganze eine Basis ist, könntest du ja auch so überprüfen, die lineare Unabhängigkeit z. B. genau so, wie du es mit den drei gegebenen Vektoren auch gemacht hast.
Aber eigentlich müsste es doch eine Basis geben, die aus den drei gegebenen Vektoren besteht und zu der nur noch zwei Vektoren dazu kommen. Sagt das dein Satz nicht vielleicht?
Und um den Vektor C in der neuen Basis zu erhalten, musst du glaube ich die Basis als Matrix schreiben und dann einfach mit C multiplizieren. Oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Sa 16.07.2005 | | Autor: | papi84 |
> Hallo!
Hallo!
> Also, mit diesem Satz kenne ich mich im Moment nicht aus,
> aber ob das ganze eine Basis ist, könntest du ja auch so
> überprüfen, die lineare Unabhängigkeit z. B. genau so, wie
> du es mit den drei gegebenen Vektoren auch gemacht hast.
>
Yep, ich habe schon bekommen ,dass die 5 Vektoren , die ich schon von SteinitzAustausch habe, linear unabhängig sind und=> sie bilden Basis in R5
> Aber eigentlich müsste es doch eine Basis geben, die aus
> den drei gegebenen Vektoren besteht und zu der nur noch
> zwei Vektoren dazu kommen. Sagt das dein Satz nicht
> vielleicht?
>
das ist nicht der Fall mit der Ergänzung zu einer neuen Basis. Die schon gegebenen Vektoren müssen ein bisschen transformiert werden und wenn nicht explizit Ausgangsvektoren gegeben sind ,dann nehmen wir die Einheitsvektoren! Weil wir 3 Vektoren haben ,dann vertauschen wir von b1 bis b3, gegen e1 bis e3 nach Steinitz Satz und schreiben wir danach die gebliebene Einheitsvektoren -e4 und e5 nach dem Ergebniss. Und das soll die neue Basis sein!
> Und um den Vektor C in der neuen Basis zu erhalten, musst
> du glaube ich die Basis als Matrix schreiben und dann
> einfach mit C multiplizieren. Oder?
Ich denke du hast hier Recht :)
Danke für die Hilfe
Grüsse ,
Petar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Sa 16.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
Bastiane hat teilweise recht:
Du musst auf jedenfall zwei Vektoren u und v finden, so dass deine drei bisherigen Vektoren zusammmen mit diesen beiden linear unabhängig sind.
Dazu gibt es verschieden Methoden.
Du könntest zum Beispiel Gram-Schmidt verwenden (ohne zu normalisieren) oder die Haudrauf-Methode wenn du dich mit den Elementar-Matrizen nicht auskennst:
Schreibe deine drei Vektoren als Spaltenvektoren in eine Matrix und forme sie mit Zeilenumforungen (Gauß-Verfahren) um bis sie Zeilenstufenform haben (du musst dir aber in jedem Schritt merken, was du tust).
Dann kann man ganz einfach zwei Vektoren ergänzen, die unabhängig zu den entstanden Spalten sind (den [mm] e_4 [/mm] und [mm] e_5 [/mm] )
Und dann musst du alle Schritte wieder (auch mit den neuen Spalten) rückgängig machen, zum Schluß muss in den ersten drei Spalten wieder die [mm] b_i [/mm] stehen und in den letzten beiden stehen deine neuen Basisvektoren von B
So um die Basisdarstellung deines Vektors c in neuer Basis B zu bekommen, musst du die Matrix M, dessen Spalten aus den Basisvektoren B bestehen, invertieren -> du erhälst [mm] $M^{-1}$ [/mm]
und dann [mm] $M^{-1}*c$ [/mm] berechnen
Warum gerade das, wird hoffentlich klar, wenn du dir den Beitrag zu den  TrafoMatrizen durchliest.
aber frage ruhig weiter, wenn etwas unklar is.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:25 Sa 16.07.2005 | | Autor: | papi84 |
Hallo!
soo , ich habe mit dem Verfahren, das ich benutzt habe ein sinvolles Ergebniss bekommen, d.h. die Vektoren sind lin.unabh. und => sie bilden Basis in R5...das bedeutet, dass die Vektoren sind schon richtig , oder ???
Ich habe noch eine kurze Frage
> So um die Basisdarstellung deines Vektors c in neuer Basis
> B zu bekommen, musst du die Matrix M, dessen Spalten aus
> den Basisvektoren B bestehen, invertieren -> du erhälst
> [mm]M^{-1}[/mm]
>
> und dann [mm]M^{-1}*c[/mm] berechnen
daas ist mir nicht so ganz klar :( wieso muss ich die ganze Geschichte mit der inversen Matrix machen...ich dachte ,dass ich nur die Vektor mit dem Basis multiplizeren muss???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Sa 16.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du hast leider nicht recht !!
Du sollst die gegebenen Vektoren zu einer Basis ergänzen nicht ersetzen, d.h. du brauchst 5 linear unabhängige Vektoren, wobei drei davon die schon gegebenen sein müssen !
Wenn du also nur irgendwelche 5 linear unabhängie hast ist das nicht das verlangte - denn dies wäre nur irgendeine Basis nicht eine ergänzte.
> > und dann [mm]M^{-1}*c[/mm] berechnen
>
> daas ist mir nicht so ganz klar :( wieso muss ich die ganze
> Geschichte mit der inversen Matrix machen...ich dachte
> ,dass ich nur die Vektor mit dem Basis multiplizeren
> muss???
Da hatte sich Bastiane vertan.
Du musst di Inverse nehmen.
Hast du dir den Link angeschaut? Da sollte klar werden, warum die Inverse.
Wenn es nicht klar wird, frage doch mal genau nach, was dir unklar ist.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 16.07.2005 | | Autor: | papi84 |
oki, das mit der Darstellung in der neuen Basis habe ich ein bisschen verstanden :) aaber in meinem Buch , das Buch von Hollatz , steht als Beispiel :
im [mm] R^{4} [/mm] seien die Vektoren
[mm] b_{1}=(4,0,-1,2), b_{2}=(3,2,-2,1), b_{3}=(-1,2,0,0) [/mm] zu einer Basis zu Ergänzen . Als Ausgangsbasis des [mm] R^{4} [/mm] nehmen wir die natürlichen Einheitsvektoren B={e1,..,e4}.....Dannach tauscht er b1 gegen e1, b2 gegen e2 und b3 gegen e3 und bekommt 3 Vektoren, die mit e4 die neue Basis in [mm] R^{4} [/mm] bilden. Und das ist das einzige Verfahren im Buch. sooo, was denkst du?? muss ich die Gram-Schmidt Verfahren benutzen oder das geht auch???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 16.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du schreibst, dass in dem Buch die vier kanonischen Basisvektoren genommen werden und dann irgendwas mit den ersten dreien noch passiert.
Deshalb zwei Fragen:
1) Was passiert genau danach (nachdem man alle Vektoren ausgetauscht hat usw..)
2) Wieso nimmt man nicht einfach gleich die kanonische Basis, wenn man nur vier linear unabhängige Vektoren haben will?
Ich schätze mal, dass in dem Buch eine ähnliche Variante gemacht wird, wie der zweite Vorschlag, den ich oben gemacht habe - aber das kann ich nur halbwegs beuteilen, wenn du genau schreibst, was dort steht.
Aber wie auch immer das Verfahren aussieht - zum Schluß muss deine Basis ergänzt sein - also nur erweitert nicht ersetzt.
(obwohl eine nicht-standard-variante auch denkbar (aber unwahrscheinlich) ist)
Übrigens : Es gibt den Basisergänzungssatz und den Austauschsatz - da du hier eine Basis ergänzen sollst, musst du natürlich ersteren verwenden.
viele Grüße
DaMenge
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