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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:43 Di 11.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich hätte mal eine Frage: Folgende Aufgabe ist zu lösen:
Beim Anlegen einer Meßlatte L der Länge l liege nur ihr Mittelpunkt exakt auf der zu messenden Strecke S, während die Randpunkte von L jeweils den senkrechten Abstand x von S haben. Wenn also für S der Wert l gemessen wird, so ist die wahre Länge von S gleich der Projektion f(x) von L auf S.
a) Man bestimme f(x)!
b) man berechne lim f(x)=a für x-> +0
c) man bestimme zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta= \delta( \varepsilon) [/mm] derart, dass |f(x) - A|< [mm] \varepsilon [/mm] für alle x mit 0<x< [mm] \delta [/mm] gilt. Zahlenwerte: l=2m; [mm] \varepsilon= \varepsilon(index [/mm] r) * l mit [mm] \varepsilon(index [/mm] r)=0,1% (relative Genauigkeit)
Mein Problem liegt bei Aufgabenteil c.
Bei a und b habe ich die richtigen Ergebnisse berechnet:
a) f(x) = 2*Wurzel( [l/2]² - x² )
b) lim f(x) = l für x gegen 0
Was ist bei c zu tun?
Die Lösungsschritte lauten:
| an - A | < [mm] \varepsilon
[/mm]
| f(x) - l | < [mm] \varepsilon
[/mm]
l - f(x) < [mm] \varepsilon
[/mm]
Hier ist meine erste Frage? Warum kommt beim Auflösen des Betrages etwas negatives raus, so dass man die Vorzeichen ändern muss?
Liegt es daran, dass der Grenzwert ein von der Funktion nicht erreichter Wert ist, der also immer größer ist, als jeder Funktionswert der Funktion?
l - [mm] \wurzel{(l/2)² - \delta²} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
l² - 4*(l²/4) - [mm] \delta² [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn ich das alles quadriere, müsste da nicht [mm] \varepsilon [/mm] auf der anderen Seite auch quadriert werden?
[mm] \delta²> \varepsilon
[/mm]
[mm] \delta>\wurzel{ \varepsilon(index r) * l } [/mm] = [mm] \wurzel{1/1000 * 2m}
[/mm]
[mm] \delta [/mm] > 0,044721m
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar. Vielleicht könnte ja jemand auf meine Fragen antworten. Was ist eigentlich [mm] \delta? [/mm] Ist das hier nur ne Bezeichnung für x?
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