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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 So 27.03.2005 | | Autor: | Ernesto |
Wenn ich die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt zeigen möchte, verwende ich dazu die e - d Definition der Stetigkeit, d.h. zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 wähle ich ein [mm] \delta [/mm] : = (....)
so das aus (x - [mm] x0)<\delta [/mm] folgt (f(x) - f(x0)) < [mm] \varepsilon [/mm] . meine Frage ist , wie bestimme ich das delta. z.b Zeige die stetigkeit von f(x) = [mm] x^2 [/mm] im Punkt x0= 2 Wie kommt man da auf ein geeignetes Delta???
Science is like sex, somtimes something comes out very usefull, but that is not the reason we are doing it ( Richard Feynman )
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 So 27.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ernesto!
Nun, es gibt kein Patentrezept um ein geeignetes [mm] $\delta$ [/mm] zu finden. Man muss schon manchmal ziemlich rumtricksen.
In diesem Fall ist es aber relativ einfach.
Wir müssen ja:
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |x^2 [/mm] - [mm] x_0^2| [/mm] = [mm] |x-x_0| \cdot |x+x_0|$
[/mm]
abschätzen. Dieser Ausdruck soll für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] kleiner sein als ein beliebig vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
Zunächst einmal sorgen wir dafür, dass [mm] $|x+x_0|$ [/mm] beschränkt ist. Wählen wir zum Beispiel [mm] $\delta_1>0$ [/mm] beliebig, so gilt für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|<\delta_1$ [/mm] die Ungleichung
[mm] $|x+x_0| \le |x-x_0| [/mm] + [mm] 2|x_0| \le \delta_1 [/mm] + [mm] 2|x_0|=:K$.
[/mm]
(Hierbei wurde die Dreiecksungleichung verwendet...)
Wir können also folgendes festhalten: Wählen wir $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta_1$, [/mm] so gilt:
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |x^2 [/mm] - [mm] x_0^2| [/mm] = [mm] |x-x_0| \cdot |x+x_0| \le |x-x_0| \cdot [/mm] K$.
Und jetzt die Frage an dich: Wie kann ich jetzt [mm] $\delta>0$ [/mm] so wählen, dass mit Hilfe der letzten Ungleichung aus [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] die Beziehung
[mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$
[/mm]
folgt?
Tipp: [mm] $\delta$ [/mm] hat was mit [mm] $\delta_1$, [/mm] $K$ und [mm] $\varepsilon$ [/mm] zu tun...
Versuche es mal... 
Viele Grüße
Stefan
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