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| Aufgabe | Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] betrachtet werden mit:
[mm] $\underset{n \in \IN }{\forall} a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}}.$
[/mm]
Für jedes positive [mm] $\varepsilon \in \IR (\varepsilon [/mm] > 0)$ soll eine natürliche Zahl [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] angegeben werden, sodass:
[mm] $\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| a_{n} \right| [/mm] < [mm] \varepsilon.$ [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe so angefangen und es wäre sehr nett, wenn jemand schreiben könnte, ob das richtig bzw. sinnvoll ist:
[mm] $\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right| [/mm] = [mm] \left| (-1)^{n}(\bruch{1}{n})^{2} \right|<(-1)^{n+1}(\bruch{1}{n+1})^{2}$
[/mm]
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
es ist schon für n=2 falsch.
Und ich sehe auch nicht, was es bringen soll. Du willst ein [mm] $N\in\IN$, [/mm] das von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen kann und das die Ungleichung [mm] $|a_n|<\varepsilon$ [/mm] erfüllt. Also könntest Du ganz einfach die Ungleichung nach n auflösen.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> betrachtet werden mit:
>
> [mm]\underset{n \in \IN }{\forall} a_{n} := \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}}.[/mm]
>
> Für jedes positive [mm]\varepsilon \in \IR (\varepsilon > 0)[/mm]
> soll eine natürliche Zahl [mm]N(\varepsilon)[/mm] angegeben werden,
> sodass:
>
> [mm]\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| a_{n} \right| < \varepsilon.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe so angefangen und es wäre sehr
> nett, wenn jemand schreiben könnte, ob das richtig bzw.
> sinnvoll ist:
>
> [mm]\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right| < \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right| = \left| (-1)^{n}(\bruch{1}{n})^{2} \right|<(-1)^{n+1}(\bruch{1}{n+1})^{2}[/mm]
>
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
Diesmal steinige ich Dich !!!
Ist Dir nicht klar, dass [mm] $|(-1)^n|=1$ [/mm] ist für alle n ??
Damit ist
[mm] $|a_n|=1/n^2 \le [/mm] 1/n$
Hatten wir so was nicht schon mal ?
FRED
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| Aufgabe | Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] betrachtet werden mit:
[mm] $\underset{n \in \IN }{\forall} a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}}.$
[/mm]
Für jedes positive [mm] $\varepsilon \in \IR (\varepsilon [/mm] > 0)$ soll eine natürliche Zahl [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] angegeben werden, sodass:
[mm] $\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| a_{n} \right| [/mm] < [mm] \varepsilon.$ [/mm] |
Hallo Fred,
> Diesmal steinige ich Dich !!!
Ehrlich: ich hätte es hierfür verdient... 
Bevor im matheraum tatsächlich noch die Schari'a eingeführt wird, komme ich besser gleich zur Aufgabe:
[mm] $\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right|=\bruch{1}{n^{2}}\le\bruch{1}{n}<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{n}<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw n>\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] und damit für jedes beliebige [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N=\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] sodass für alle $n>N$ gilt [mm] $\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right|<\varepsilon.$
[/mm]
Hierzu noch eine Frage:
[mm] $\bruch{1}{n^{2}}\le\bruch{1}{n}$
[/mm]
Nach der kleinen Diskussion via Mitteilungen vorhin, würde ich sagen, dass es egal ist, ob ich dazwischen $<$ oder [mm] $\le$ [/mm] schreibe. Zur Sicherheit: darf auch hier beides verwendet werden?
> Hatten wir so was nicht schon mal ?
Leider kommt auf dem Ü-Blatt keine weitere Aufgabe dieser Art mehr vor. Ich wüsste zu gerne, ob ich es erneut vermasseln würde... Unabhängig vom Thema und der Länge der Aufgabenstellung, gibt es auf jede Aufgabe 5 Punkte und das gaukelt einem vor, es wären besonders lange Rechnungen nötig.
Vielen Dank
&
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] N=\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] $
[mm] $\frac1\varepsilon$ [/mm] dürfte nur in Ausnahmefällen eine natürliche Zahl sein.
> $ [mm] \bruch{1}{n^{2}}\le\bruch{1}{n} [/mm] $
> Zur Sicherheit: darf auch hier beides verwendet werden?
Wieso erzählst Du uns das nicht? Sowas auszuarbeiten ist doch genau Deine Aufgabe. Du kannst Fragen, ob Deine Argumentation stimmt, aber dafür muß erstmal eine existieren.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Fr 03.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Diesmal steinige ich Dich !!!
>
> Ehrlich: ich hätte es hierfür verdient...
> Bevor im matheraum tatsächlich noch die Schari'a
> eingeführt wird, komme ich besser gleich zur Aufgabe:
Schari'a bedeutet wörtlich: "den Weg zur Quelle oder zur Tränke."
Da ist doch der matheraum ganz nah dran !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Fr 03.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Ich seh schon die Schlagzeilen von morgen vor mir:
"Verfassungsschutz warnt vor mathematischen Extremisten!"
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Do 02.12.2010 | | Autor: | abakus |
> > Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> > betrachtet werden mit:
> >
> > [mm]\underset{n \in \IN }{\forall} a_{n} := \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}}.[/mm]
>
> >
> > Für jedes positive [mm]\varepsilon \in \IR (\varepsilon > 0)[/mm]
> > soll eine natürliche Zahl [mm]N(\varepsilon)[/mm] angegeben werden,
> > sodass:
> >
> > [mm]\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| a_{n} \right| < \varepsilon.[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > ich habe diese Aufgabe so angefangen und es wäre sehr
> > nett, wenn jemand schreiben könnte, ob das richtig bzw.
> > sinnvoll ist:
> >
> > [mm]\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right| < \varepsilon[/mm]
> >
> > [mm]\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right| = \left| (-1)^{n}(\bruch{1}{n})^{2} \right|<(-1)^{n+1}(\bruch{1}{n+1})^{2}[/mm]
>
> >
> >
> > Vielen Dank.
> >
> > Gruß
> > el_grecco
> >
>
>
> Diesmal steinige ich Dich !!!
>
> Ist Dir nicht klar, dass [mm]|(-1)^n|=1[/mm] ist für alle n ??
>
> Damit ist
>
> [mm]|a_n|=1/n^2 \le 1/n[/mm]
Hallo Fred,
wozu ist die nochmalige Abschätzung von [mm] 1/n^2 [/mm] gegenüber 1/n gut?
Kann man N nicht einfach mit [mm] \wurzel{1/\epsilon} [/mm] ausdrücken?
Gruß Abakus
>
> Hatten wir so was nicht schon mal ?
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
ist das Wurzelziehen wirklich leichter/schwerer, als nochmal abzuschätzen? =)
ciao
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Fr 03.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Es soll die Folge rationaler Zahlen [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> > > betrachtet werden mit:
> > >
> > > [mm]\underset{n \in \IN }{\forall} a_{n} := \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für jedes positive [mm]\varepsilon \in \IR (\varepsilon > 0)[/mm]
> > > soll eine natürliche Zahl [mm]N(\varepsilon)[/mm] angegeben werden,
> > > sodass:
> > >
> > > [mm]\underset{n > N(\varepsilon) }{\forall} \left| a_{n} \right| < \varepsilon.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe diese Aufgabe so angefangen und es wäre sehr
> > > nett, wenn jemand schreiben könnte, ob das richtig bzw.
> > > sinnvoll ist:
> > >
> > > [mm]\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right| < \varepsilon[/mm]
> >
> >
> > > [mm]\left| \bruch{(-1)^{n}}{n^{2}} \right| = \left| (-1)^{n}(\bruch{1}{n})^{2} \right|<(-1)^{n+1}(\bruch{1}{n+1})^{2}[/mm]
>
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> > >
> > > Vielen Dank.
> > >
> > > Gruß
> > > el_grecco
> > >
> >
> >
> > Diesmal steinige ich Dich !!!
> >
> > Ist Dir nicht klar, dass [mm]|(-1)^n|=1[/mm] ist für alle n ??
> >
> > Damit ist
> >
> > [mm]|a_n|=1/n^2 \le 1/n[/mm]
> Hallo Fred,
> wozu ist die nochmalige Abschätzung von [mm]1/n^2[/mm] gegenüber
> 1/n gut?
> Kann man N nicht einfach mit [mm]\wurzel{1/\epsilon}[/mm]
> ausdrücken?
Klar, man kann
FRED
> Gruß Abakus
> >
> > Hatten wir so was nicht schon mal ?
> >
> > FRED
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