Epsilon-Delta Kriterium anhand < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Prüfe die Stetigkeit der Funktion f(x) = [mm] x^2 [/mm] mit Hilfe des Epsilon-Delta Kriteriums. |
Hallo zusammen,
die Frage kam sicher schon einige Male, doch will ich auf Nummer sicher gehen, und meinen Ansatz in Sicherheit wiegen.
Es geht um die Funktion [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \Rightarrow \mathbb [/mm] R mit f(x) = [mm] x^2 [/mm] deren Stetigkeit ich in jedem Punkt mittels Epsilon-Delta Kriterium zeigen möchte.
Die Definition besagt also:
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D, [mm] \vert x-x_0\vert [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow \vert [/mm] f(x) - [mm] f(x_0)\vert [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Ich fange nun mit dem Epsilon an und setze ein:
[mm] \vert x^2 [/mm] - [mm] (x_0)^2 \vert [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Dies ist offenbar die dritte binomische Formel und umzuschreiben in:
[mm] \vert (x-x_0) (x+x_0) \vert [/mm] = [mm] \vert(x-x_0)\vert \vert(x+x_0)\vert
[/mm]
[mm] x-x_0 [/mm] ist hierbei laut Definition kleiner als Delta, folglich gilt:
[mm] \vert (x-x_0) \vert \vert (x+x_0) \vert [/mm] < [mm] \delta *\vert(x [/mm] + [mm] x_0) \vert [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Was mich nun an dieser Stelle stört sind die Betragsstriche und das x.
Wie gehe ich nun weiter vor? Eventuell mit der Dreiecksungleichung?
Danke im Vorraus :)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) URL
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Huhu,
> Was mich nun an dieser Stelle stört sind die
> Betragsstriche und das x.
> Wie gehe ich nun weiter vor? Eventuell mit der
> Dreiecksungleichung?
Jap 
Und als Tip: $|x| [mm] \le |x_0| [/mm] + [mm] \delta$
[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Huhu,
>
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> > Was mich nun an dieser Stelle stört sind die
> > Betragsstriche und das x.
> > Wie gehe ich nun weiter vor? Eventuell mit der
> > Dreiecksungleichung?
>
> Jap
> Und als Tip: [mm]|x| \le |x_0| + \delta[/mm]
Na, na, dazu muß man das [mm] \delta [/mm] aber schon haben !!!!!!!!
FRED
>
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|= |x+x_0|*|x-x_0|$
[/mm]
Da es nur auf x in der Nähe von [mm] x_0 [/mm] ankommt, kannst Du annehmen: [mm] |x-x_0|<1.
[/mm]
Dann: [mm] |x|=|x-x_0+x_0| \le |x-x_0|+|x_0| [/mm] < [mm] 1+|x_0|
[/mm]
Es folgt:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|= |x+x_0|*|x-x_0| \le (|x|+|x_0|)|x-x_0| \le (1+2|x_0|)|x-x_0|$
[/mm]
Zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 , wähle [mm] \delta:= [/mm] min { [mm] \varepsilon/(1+2|x_0|), [/mm] 1 }
FRED
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> Da es nur auf x in der Nähe von [mm]x_0[/mm] ankommt, kannst Du
> annehmen: [mm]|x-x_0|<1.[/mm]
Kann ich dies grundsätzlich immer annehmen oder ist das nur auf diesen Fall bezogen? Warum dann < 1? Weil es einfach nur ein hinreichend kleiner Abstand sein muss?
> Es folgt:
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|= |x+x_0|*|x-x_0| \le (|x|+|x_0|)|x-x_0| \le (1+2|x_0|)|x-x_0|[/mm]
Das ist mir auch soweit klar, einfach die Dreiecksungleichung angewandt und dann lässt sich am Ende das [mm] \vertx-x_0\vert [/mm] mit [mm] \vardelta [/mm] substituieren, also [mm] (1+2|x_0|)|x-x_0| [/mm] = [mm] (1+2|x_0|)\vardelta [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
> Zu [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , wähle
>[mm]\delta := [/mm] min\ [mm]\varepsilon/(1+2|x_0|),1[/mm]
Warum genügt es jedoch nun nicht, das Delta auf [mm] \varepsilon/(1+2|x_0|)
[/mm]
zu setzen, sondern in Verbindung mit der 1 im Minimum?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Da es nur auf x in der Nähe von [mm]x_0[/mm] ankommt, kannst Du
> > annehmen: [mm]|x-x_0|<1.[/mm]
>
> Kann ich dies grundsätzlich immer annehmen oder ist das
> nur auf diesen Fall bezogen? Warum dann < 1? Weil es
> einfach nur ein hinreichend kleiner Abstand sein muss?
Du könntest auch <1/2 oder < 0,8 nehmen. 1 ist aber schöner
>
> > Es folgt:
> >
> > [mm]|f(x)-f(x_0)|= |x+x_0|*|x-x_0| \le (|x|+|x_0|)|x-x_0| \le (1+2|x_0|)|x-x_0|[/mm]
>
> Das ist mir auch soweit klar, einfach die
> Dreiecksungleichung angewandt und dann lässt sich am Ende
> das [mm]\vertx-x_0\vert[/mm] mit [mm]\vardelta[/mm] substituieren, also
> [mm](1+2|x_0|)|x-x_0|[/mm] = [mm](1+2|x_0|)\vardelta[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> > Zu [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , wähle
> >[mm]\delta :=[/mm] min\ [mm]\varepsilon/(1+2|x_0|),1[/mm]
>
> Warum genügt es jedoch nun nicht, das Delta auf
> [mm]\varepsilon/(1+2|x_0|)[/mm]
> zu setzen, sondern in Verbindung mit der 1 im Minimum?
Wir sind oben von [mm]|x-x_0|<1.[/mm] ausgegangen
FRED
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