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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 So 21.08.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
das Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit haben wir folgendermaßen definiert:
Sei U Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] f: U [mm] \to \IR, a\in [/mm] U. Dann heißt f stetig in a genau dann, wenn gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall x\in [/mm] U mit [mm] |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon
[/mm]
Die Definition ist ziemlich ähnlich wie die für das Epsilon-Delta-Kriterium für Grenzwerte, wobei wir dort statt [mm] a\in [/mm] U vorausgesetzt haben, dass a ein Häufungspunkt ist. Warum muss a bei der Grenzwertdefinition ein Häufungspunkt sein und bei der Stetigkeit nicht? In der Definition f stetig in a, genau dann wenn lim [mm] x\to [/mm] a f(x) = f(a) haben wir auch vorausgesetzt, dass [mm] a\in [/mm] U und a Häufungspunkt ist. Warum ist das so?
Vielen Dank.
Katrin
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> Hallo,
> das Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit haben wir
> folgendermaßen definiert:
> Sei U Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] f: U [mm]\to \IR, a\in[/mm] U. Dann heißt
> f stetig in a genau dann, wenn gilt:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta[/mm] >0 [mm]\forall x\in[/mm] U
> mit [mm]|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon[/mm]
Hallo,
wir halten hier zweierlei fest:
1.
von Stetigkeit der Funktion f an einer Stelle a kann man nur sprechen, wenn a im Definitionsbereich von f liegt,
2.
Wenn der Definitionsbereich isolierte Punkte hat, z.B. die Stellen x=1 in [mm] D:=[-17,0[\cup \{1,2,3\}, [/mm] ist f an diesen isolierten Punkten lt. Definition stetig.
> Die
> Definition ist ziemlich ähnlich wie die für das
> Epsilon-Delta-Kriterium für Grenzwerte, wobei wir dort
> statt [mm]a\in[/mm] U vorausgesetzt haben, dass a ein Häufungspunkt
> ist.
Auch hier zweierlei:
1.
Funktionen können an Stellen, an denen sie überhaupt nicht definiert sind, einen Grenzwert haben.
Beispiel: [mm] f:\IR\\{2}\to \IR [/mm] mit [mm] f(x):=\bruch{x^2-4}{x-2}.
[/mm]
2.
Der Grenzwert von Funktionen ist (bei Euch) für isolierte Punkte des Definitionsbereiches nicht erklärt.
> Warum muss a bei der Grenzwertdefinition ein
> Häufungspunkt sein
Das "muß" nicht unbedingt, sondern es ist bei Euch halt so.
Wenn man wollte, könnte man die Grenzwertdefinition auch so formulieren, daß auf "Häufungspunkt" verzichtet wird und stattdessen der Grenzwert einer Funktion etwas großherziger für die Berührpunkte des Definitionsbereiches (=abgeschlossene Hülle des Definitionsbereiches) definiert wird. Mancherorts wird dies auch getan.
> und bei der Stetigkeit nicht? In der
> Definition f stetig in a, genau dann wenn lim [mm]x\to[/mm] a f(x) =
> f(a) haben wir auch vorausgesetzt, dass [mm]a\in[/mm] U und a
> Häufungspunkt ist. Warum ist das so?
Es ist so, weil man
1.
von Stetigkeit nur bei Punkten reden kann, die im Definitionsbereich der Funktion liegen, und weil
2.
der Begriff des Grenzwertes von Funktionen nur für Häufungspunkte des Definitionsbereiches definiert ist.
Es wird hier gesagt:
vorausgesetzt, wir betrachten einen Punkt des Definitionsbereiches, welcher auch Häufungspunkt ist, dann ist Stetigkeit in diesem Punkt gleichbedeutend mit "Grenzwert=Funktionswert".
Ich hoffe, daß ich auf das geantwortet habe, was Du gefragt hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 So 21.08.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich habe es jetzt verstanden.
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