Epsilon-Delta-Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 So 23.11.2008 | | Autor: | Azarazul |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums die Stetigkeit der Funktion [mm] f:]0;\infty[ \rightarrow \IR , x \mapsto \bruch{1}{x+\sqrt{x}} [/mm] |
Hi,
ich habe diese Aufgabe m.E. gelöst und würde gerne wissen, ob sie korrekt gelöst wurde bzw. ob es Verbesserungsvorschläge gibt.
Also:
Zu zeigen:
$$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in (x_0 [/mm] - [mm] \delta; x_0 [/mm] + [mm] \delta) [/mm] : | f(x) - [mm] f(x_0) [/mm] |< [mm] \varepsilon [/mm] $$
(Sind alle Quantoren in der richtigen Reihenfolge - die ist ja nicht ganz unwichtig...)
Ich schreibe das mal so auf, wie ich es grechnet habe, nicht, wie man es aufschreiben würde.
$$ | [mm] \bruch{1}{x+\sqrt{x}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x_0+\sqrt{x_0}} [/mm] | = [mm] \bruch{ \delta + |\sqrt{x_0} - \sqrt{x}|}{| (x+ \sqrt{x}) (x_0+\sqrt{x_0}) |}$$
[/mm]
das schätze ich jetzt - etwas hart vielleicht - ab:
$$ < [mm] \bruch{\delta}{| (x+ \sqrt{x}) (x_0+\sqrt{x_0}) |} [/mm] $$
Jetzt verkleinere ich den Nenner, und schmeiße das x raus:
Mit
$$ | (x+ [mm] \sqrt{x}) (x_0+\sqrt{x_0}) [/mm] | [mm] \ge x_0^2+x_0 \Rightarrow \delta [/mm] < [mm] 2\sqrt{x_0}$$
[/mm]
folgt:
$$ [mm] \bruch{\delta}{| (x+ \sqrt{x}) (x_0+\sqrt{x_0}) |} [/mm] < [mm] \bruch{\delta}{ (x_0^2+x_0) } [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $$
Daraus folgt durch Umformung:
$$ [mm] \delta [/mm] := min(2 [mm] \sqrt{x_0}, \varepsilon (x_0^2+x_0) [/mm] )$$
Wie ihr vielleicht sehen könnt, ist noch etwas unsicherheit bei der Beweisführung mittels dieses Kriteriums, wie es anscheinend vielen so geht. Wäre dieses [mm] \delta [/mm] in Ordnung ? Wie würde ich das jetzt in klausur hinschreiben ? Würde ich dann anfangen, mit einem aus der Luft gegriffenen $ [mm] \delta [/mm] $ in dem Stil:
"Sei
$$ [mm] \delta [/mm] := [mm] min(2\sqrt{x_0}, \varepsilon (x_0^2+x_0)) [/mm] $$ daraus folgt dann, dass $$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in (x_0 [/mm] - [mm] \delta; x_0 [/mm] + [mm] \delta) [/mm] : | f(x) - [mm] f(x_0) [/mm] |< [mm] \varepsilon [/mm] $$ gilt ."....
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder Internetseite gestellt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Azarazul |
Mhh... ist die Frage untergegangen ? Oder ist was unklar ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mo 24.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Einige Sachen sind unpraezise aber ungefaehr so geht es.
> Zeigen Sie mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums die
> Stetigkeit der Funktion [mm]f:]0;\infty[ \rightarrow \IR , x \mapsto \bruch{1}{x+\sqrt{x}}[/mm]
>
> Hi,
>
> ich habe diese Aufgabe m.E. gelöst und würde gerne wissen,
> ob sie korrekt gelöst wurde bzw. ob es
> Verbesserungsvorschläge gibt.
>
> Also:
> Zu zeigen:
> [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x \in (x_0 - \delta; x_0 + \delta) : | f(x) - f(x_0) |< \varepsilon[/mm]
>
> (Sind alle Quantoren in der richtigen Reihenfolge - die ist
> ja nicht ganz unwichtig...)
Alles ok
> Ich schreibe das mal so auf, wie ich es grechnet habe,
> nicht, wie man es aufschreiben würde.
>
> [mm]| \bruch{1}{x+\sqrt{x}} - \bruch{1}{x_0+\sqrt{x_0}} | = \bruch{ \delta + |\sqrt{x_0} - \sqrt{x}|}{| (x+ \sqrt{x}) (x_0+\sqrt{x_0}) |}[/mm]
das gleich ist falsch! [mm] \delta\ne [/mm] x-x0 du musst also direkt abschaetzen.
> das schätze ich jetzt - etwas hart vielleicht - ab:
> [mm]< \bruch{\delta}{| (x+ \sqrt{x}) (x_0+\sqrt{x_0}) |}[/mm]
>
> Jetzt verkleinere ich den Nenner, und schmeiße das x raus:
> Mit
> [mm]| (x+ \sqrt{x}) (x_0+\sqrt{x_0}) | \ge x_0^2+x_0 \Rightarrow \delta < 2\sqrt{x_0}[/mm]
Du kannst so einfach die x nicht rausschmeissen, weil ja [mm] x>x_0 [/mm] sein kann und du dann verkleinerst.
schreibs erst richtig hin, nimm [mm] \delta [/mm] so klein, dass du etwa x,x-0 durch [mm] 2x_0 [/mm] abschaetzen kannst.
> folgt:
> [mm]\bruch{\delta}{| (x+ \sqrt{x}) (x_0+\sqrt{x_0}) |} < \bruch{\delta}{ (x_0^2+x_0) } < \varepsilon[/mm]
>
> Daraus folgt durch Umformung:
>
> [mm]\delta := min(2 \sqrt{x_0}, \varepsilon (x_0^2+x_0) )[/mm]
die 2 [mm] \sqrt{x_0} [/mm] kapier ich nicht? wie kommt die dahin?
wenn ich was uebersehen hab musst dus auf jeden fall begruenden.
In der Klausur darf man das meist auch so machen, wenn man bei jedem Schritt auch rueckwaerts gehen kann hat niemand was gegen dieses Vorgehen.
> ihr vielleicht sehen könnt, ist noch etwas unsicherheit bei
> der Beweisführung mittels dieses Kriteriums, wie es
> anscheinend vielen so geht. Wäre dieses [mm]\delta[/mm] in Ordnung ?
> Wie würde ich das jetzt in klausur hinschreiben ? Würde ich
> dann anfangen, mit einem aus der Luft gegriffenen [mm]\delta[/mm] in
> dem Stil:
> "Sei
> [mm]\delta := min(2\sqrt{x_0}, \varepsilon (x_0^2+x_0))[/mm] daraus
> folgt dann, dass [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x \in (x_0 - \delta; x_0 + \delta) : | f(x) - f(x_0) |< \varepsilon[/mm]
> gilt ."....
Nein einfach schreiben, mit diesen [mm] \delta [/mm] kann man, da ich nur Aequivalenzumformungen gemacht habe auch direkt die Beh. zeigen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 25.11.2008 | | Autor: | Azarazul |
> Alles ok
Gut. Erstmal sowieso vielen Dank für das darüber schauen - man kann das nie oft genug sagen!
> [mm]| \bruch{1}{x+\sqrt{x}} - \bruch{1}{x_0+\sqrt{x_0}} | = \bruch{ \delta + |\sqrt{x_0} - \sqrt{x}|}{| (x+ \sqrt{x}) (x_0+\sqrt{x_0}) |}[/mm]
>
> das gleich ist falsch! [mm]\delta\ne[/mm] x-x0 du musst also direkt
> abschaetzen.
Ok, dann muss da ein kleiner gleich hin:
[mm]| \bruch{1}{x+\sqrt{x}} - \bruch{1}{x_0+\sqrt{x_0}} | \le\bruch{ \delta + |\sqrt{x_0} - \sqrt{x}|}{| (x+ \sqrt{x}) (x_0+\sqrt{x_0}) |}[/mm]
> Du kannst so einfach die x nicht rausschmeissen, weil ja
> [mm]x>x_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sein kann und du dann verkleinerst.
Mhh... ok: An dieser Stelle schreibe ich mal ausführlicher auf, was ich meine.
Ich meinte das nämlich so, dass wenn das hier (und ein dummer fehler meinerseits steckt auch noch drinne - seht ihr gleich):
$$ xx_0 + x\sqrt{x_0}+\sqrt{x}x_0+ \sqrt{xx_0} = (x + \sqrt{x})(x_0+\sqrt{x_0}) > x_0^2 + x_0 $$
gelten soll - dann muss:
$$ x + \sqrt{x} > \bruch{x_0^2+x_0}{x_0+\sqrt{x_0}} = \bruch{(x_0 - \sqrt{x_0})(x_0+\sqrt{x_0})}{x_0+\sqrt{x_0}} = x_0 - \sqrt{x_0} \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{x_0} > x_0 - x $$
richtig - was bringt mir das ? Das die Summe zweier Wurzeln größer ist als die Differenz die möglicherweise sogar negativ wird, kann man sich ja denken. Aber kann ich nicht argumentieren, dass in jedem Fall gilt:
$$ \sqrt{x} + \sqrt{x_0} > |x_0 - x| $$ wenn ich $$ \delta := min(x_0/2, rechne ich aus... ) $$ setze ?
(und jetzt seht ihr meinen Fehler - ich hab irgendwann Abschätzung und Bedingung verwechselt !)
Ich hab ehrlich gesagt, mit genau diesem Schritt noch Probleme, nämlich das x loszuwerden - denn es wird meist (ich hab natürlich hier schon was zu dem thema gelesen) irgendeine Einschränkung an das x gemacht, z.B. $$ \delta :=min(x_0/2 , \text{irgendwas anderes mit } \varepsilon \text{ und } x_0 } )$$, was ja nix anderes heißt, als $ 1/2 x_0 < x < 3/2 x_0 $ oder es wird gleich nur der (sogleich für mich sehr einfache) Fall $ x < x_0 $ oder andersherum betrachtet. Ich mag diese Einschränkungen aus irgendeinem Grunde nicht... Brauche ich die hier?
Jetzt könnte ich aus dem obigen weiter folgern, dass das "gesamte $\delta$ dann zu:
$\delta := min(x_0/2, \varepsilon*(x_0^2 + x_0) ) $
Oder (sagt ja !!! :D ) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 25.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Um die einschraenkung fuer das [mm] \delta [/mm] kommst du nicht rum!
denn sonst koennte ja dein x sogar 0 werden, was bei dieser fkt toedlich waere. aber da du ja bei [mm] x_0>0 [/mm] bleibst ist [mm] \delta, x_0/2 [/mm] nicht schlimm, also [mm] |x-x_0|
dann das in deine Abschaetzung:
jetzt zu deinem nenner: der ist jetzt weil alle summanden >0 sind [mm] >xx_0>x_0^2/2 [/mm] das vereinfacht alles und oben hast du [mm] \wurzel{x_0}*|1-\wurzel{1.5}| [/mm] was leicht zu vergroessern ist.
grob abschaetzen schadet nie, du brauchst ja nur irgend ein [mm] \delta [/mm] (da also noch das [mm] +x_0 [/mm] mitzuschleppen bringt nix (schadet auch nicht)
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:10 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Azarazul |
Okay - vielen Dank. Ich habe verstanden, dass meine Abschätzung nicht unbedigt die schärfeste sein muss. Dass ich mich auf die Betrachtung von $$ [mm] x_0 [/mm] > 0 , [mm] \delta \le x_0/2 [/mm] $$ beschränken muss, ist irgendwie klar. Mhh.. ich löse nochmal ein paar von solchen Aufgaben, irgendwann erscheinen mir diese Abschätzungen hoffentlich nicht mehr so beliebig.
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